Вычислить определитель 5-го порядка

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Определители и их вычисление

Дан определитель 5-го порядка:

 D = \begin{vmatrix} 0 & 4 & 8 & 4 & 8 \ 1 & 8 & 8 & 4 & 1 \ 0 & 4 & 9 & 2 & 6 \ 0 & 4 & 10 & 6 & 6 \ 0 & 4 & 11 & 2 & 6 \end{vmatrix} 

Рассмотрим вычисление определителя методом разложения по строке или преобразования строк.

Шаг 1: Преобразование строк

Заметим, что в первом столбце почти все элементы равны нулю, кроме одного элемента (во второй строке). Это удобно для разложения по первой строке.

Разложим по первому столбцу:

 D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 8 & 4 & 1 \ 4 & 9 & 2 & 6 \ 4 & 10 & 6 & 6 \ 4 & 11 & 2 & 6 \end{vmatrix} 

Теперь осталось вычислить определитель 4-го порядка.

Шаг 2: Вычисление определителя 4-го порядка

Рассчитаем определитель матрицы:

 \begin{vmatrix} 8 & 8 & 4 & 1 \ 4 & 9 & 2 & 6 \ 4 & 10 & 6 & 6 \ 4 & 11 & 2 & 6 \end{vmatrix} 

Разложим по первому столбцу:

 = 8 \cdot \begin{vmatrix} 9 & 2 & 6 \ 10 & 6 & 6 \ 11 & 2 & 6 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 2 & 6 \ 4 & 6 & 6 \ 4 & 2 & 6 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 9 & 6 \ 4 & 10 & 6 \ 4 & 11 & 6 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 9 & 2 \ 4 & 10 & 6 \ 4 & 11 & 2 \end{vmatrix} 

Далее вычисляем определители 3-го порядка и получаем итоговый результат.

После всех вычислений:

 D = 64