Вычислить методом неявного дифференцирования

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление (частные производные)

Дано уравнение функции ( z = z(x, y) ):

x^2 + y^2 + z^2 - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2 = 0.

Необходимо найти:
а) \frac{\partial z}{\partial x} при точке (1, -1, -2);
б) \frac{\partial z}{\partial y} при точке (1, -1, 0).

Решение

Функция задана неявно, поэтому применим метод неявного дифференцирования.

1. Вычисление \frac{\partial z}{\partial x}

Дифференцируем уравнение по x, считая z функцией от x и y:

 \frac{\partial}{\partial x} \Big( x^2 + y^2 + z^2 - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2 \Big) = 0. 

Расписываем производные каждого слагаемого:

• \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x,
• \frac{\partial}{\partial x}(y^2) = 0 (так как y не зависит от x),
• \frac{\partial}{\partial x}(z^2) = 2z \frac{\partial z}{\partial x},
• \frac{\partial}{\partial x}(-xz) = -z - x \frac{\partial z}{\partial x},
• \frac{\partial}{\partial x}(-yz) = 0 (так как y не зависит от x),
• \frac{\partial}{\partial x}(2x) = 2,
• \frac{\partial}{\partial x}(2y) = 0,
• \frac{\partial}{\partial x}(2z) = 2 \frac{\partial z}{\partial x},
• \frac{\partial}{\partial x}(-2) = 0.

Собираем уравнение:  2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} - z - x \frac{\partial z}{\partial x} + 2 + 2 \frac{\partial z}{\partial x} = 0. 

Группируем слагаемые с \frac{\partial z}{\partial x}:  (2z - x + 2) \frac{\partial z}{\partial x} = -2x + z - 2. 

Выражаем \frac{\partial z}{\partial x}:  \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2x + z - 2}{x - 2z - 2}. 

Подставляем точку (1, -1, -2):

• x = 1,
• y = -1,
• z = -2.

Вычисляем числитель и знаменатель:

• Числитель: -2(1) + (-2) - 2 = -2 - 2 - 2 = -6,
• Знаменатель: 1 - 2(-2) - 2 = 1 + 4 - 2 = 3.

Итак:  \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-6}{3} = -2. 

2. Вычисление \frac{\partial z}{\partial y}

Дифференцируем уравнение по y, считая z функцией от x и y:

 \frac{\partial}{\partial y} \Big( x^2 + y^2 + z^2 - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2 \Big) = 0. 

Расписываем производные:

• \frac{\partial}{\partial y}(x^2) = 0,
• \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y,
• \frac{\partial}{\partial y}(z^2) = 2z \frac{\partial z}{\partial y},
• \frac{\partial}{\partial y}(-xz) = 0,
• \frac{\partial}{\partial y}(-yz) = -z - y \frac{\partial z}{\partial y},
• \frac{\partial}{\partial y}(2x) = 0,
• \frac{\partial}{\partial y}(2y) = 2,
• \frac{\partial}{\partial y}(2z) = 2 \frac{\partial z}{\partial y},
• \frac{\partial}{\partial y}(-2) = 0.

Собираем уравнение:  2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} - z - y \frac{\partial z}{\partial y} + 2 + 2 \frac{\partial z}{\partial y} = 0. 

Группируем слагаемые с \frac{\partial z}{\partial y}:  (2z - y + 2) \frac{\partial z}{\partial y} = -2y + z - 2. 

Выражаем \frac{\partial z}{\partial y}:  \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-2y + z - 2}{y - 2z - 2}. 

Подставляем точку (1, -1, 0):

• x = 1,
• y = -1,
• z = 0.

Вычисляем числитель и знаменатель:

• Числитель: -2(-1) + 0 - 2 = 2 - 2 = 0,
• Знаменатель: -1 - 2(0) - 2 = -1 - 2 = -3.

Итак:  \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{0}{-3} = 0. 

Ответ:

а) \frac{\partial z}{\partial x}(1, -1, -2) = -2;
б) \frac{\partial z}{\partial y}(1, -1, 0) = 0.