Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Линейные операторы и матричное представление

Даны два линейных оператора ( A ) и ( B ), заданные их действием на произвольный вектор ( x = (x_1, x_2, x_3) ). Требуется найти вектор ( d = A(Bc) ) для вектора ( c = (1,1,-2) ) и записать его вторую координату.

Шаг 1: Найдём ( Bc )

Оператор ( B ) действует на произвольный вектор ( x ) по правилу:

[ Bx = \begin{pmatrix} -2x_3 \

• x_1 + x_2 - x_3 \ x_1 + x_2 \end{pmatrix} ]

Подставляем ( c = (1,1,-2) ):

[ Bc = \begin{pmatrix} -2(-2) \

• (1) + (1) - (-2) \ (1) + (1) \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} 4 \ 0 + 2 = 2 \ 2 \end{pmatrix} ]

Шаг 2: Найдём ( A(Bc) )

Оператор ( A ) действует на произвольный вектор ( x ) по правилу:

[ Ax = \begin{pmatrix} -2x_1 + x_2 \

• x_2 \ x_1 - 2x_2 \end{pmatrix} ]

Подставляем ( Bc = (4,2,2) ):

[ A(Bc) = \begin{pmatrix} -2(4) + (2) \

• (2) \ (4) - 2(2) \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} -8 + 2 = -6 \ -2 \ 4 - 4 = 0 \end{pmatrix} ]

Шаг 3: Записываем вторую координату найденного вектора ( d )

Вторая координата вектора ( d = A(Bc) ) равна (-2).