Продифференцировать функцию

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (дифференцирование сложных функций)

Нам нужно продифференцировать функцию:
 y = e^{\tg 2x} 

Шаг 1: Вспоминаем правила дифференцирования

1. Производная показательной функции  e^u  равна:
    \frac{d}{dx} e^u = e^u \cdot u' ,
   где  u  — это функция от  x .

2. Производная тангенса  \tg u :
    \frac{d}{dx} \tg u = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u' .

Шаг 2: Обозначим внутреннюю функцию

Внутри экспоненты у нас находится  u = \tg 2x .

Дифференцируем  u :
 u' = \frac{d}{dx} \tg 2x = \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2 2x} .

Шаг 3: Дифференцируем всю функцию

Теперь применяем правило производной экспоненты:
 y' = e^{\tg 2x} \cdot \frac{2}{\cos^2 2x} .

Ответ:

 y' = e^{\tg 2x} \cdot \frac{2}{\cos^2 2x} .

Мы аккуратно применили правила дифференцирования сложных функций, сначала найдя производную внутренней функции, а затем применив производную экспоненциальной функции.