Продифференцировать функции, заданные неявно

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (неявное дифференцирование)

Задача состоит в том, чтобы продифференцировать функции, заданные неявно. Для этого будем использовать неявное дифференцирование, применяя правило производной сложной функции и дифференцируя обе части уравнения по ( x ), считая ( y ) функцией от ( x ).

Решение задачи 36

Дано уравнение: x^3 + y^3 + 2xy = 0

Шаг 1: Дифференцируем обе части уравнения по ( x )
Используем правило производной суммы и учитываем, что ( y ) является функцией от ( x ), то есть ( y = y(x) ).

1. Производная ( x^3 ) по ( x ): \frac{d}{dx} x^3 = 3x^2

2. Производная ( y^3 ) по ( x ) (используем правило цепочки): \frac{d}{dx} y^3 = 3y^2 \frac{dy}{dx}

3. Производная ( 2xy ) по ( x ) (используем правило Лейбница): \frac{d}{dx} (2xy) = 2x \frac{dy}{dx} + 2y

4. Производная правой части уравнения (0): \frac{d}{dx} 0 = 0

Шаг 2: Записываем уравнение после дифференцирования
3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} + 2x \frac{dy}{dx} + 2y = 0

Шаг 3: Выражаем ( \frac{dy}{dx} )
Переносим все слагаемые, содержащие ( \frac{dy}{dx} ), в одну сторону:

3y^2 \frac{dy}{dx} + 2x \frac{dy}{dx} = - (3x^2 + 2y)

Выносим ( \frac{dy}{dx} ) за скобки:

(3y^2 + 2x) \frac{dy}{dx} = - (3x^2 + 2y)

Делим обе части на ( (3y^2 + 2x) ):

\frac{dy}{dx} = \frac{- (3x^2 + 2y)}{3y^2 + 2x}

Ответ:
\frac{dy}{dx} = \frac{- (3x^2 + 2y)}{3y^2 + 2x}

Решение задачи 37

Дано уравнение: e^y + \frac{1}{x} - y = 2

Шаг 1: Дифференцируем обе части по ( x )

1. Производная ( e^y ) по ( x ) (используем правило цепочки): \frac{d}{dx} e^y = e^y \frac{dy}{dx}

2. Производная ( \frac{1}{x} ) по ( x ) (используем правило производной дроби): \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2}

3. Производная ( -y ) по ( x ): \frac{d}{dx} (-y) = -\frac{dy}{dx}

4. Производная правой части (2) по ( x ): \frac{d}{dx} 2 = 0

Шаг 2: Записываем уравнение после дифференцирования
e^y \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} - \frac{dy}{dx} = 0

Шаг 3: Выражаем ( \frac{dy}{dx} )
Переносим все слагаемые, содержащие ( \frac{dy}{dx} ), в одну сторону:

(e^y - 1) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2}

Делим обе части на ( e^y - 1 ):

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 (e^y - 1)}

Ответ:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 (e^y - 1)}

Решение задачи 38

Дано уравнение: \sin y + \sin x + xy = 0

Шаг 1: Дифференцируем обе части по ( x )

1. Производная ( \sin y ) по ( x ) (используем правило цепочки): \frac{d}{dx} \sin y = \cos y \frac{dy}{dx}

2. Производная ( \sin x ) по ( x ): \frac{d}{dx} \sin x = \cos x

3. Производная ( xy ) по ( x ) (используем правило Лейбница): \frac{d}{dx} (xy) = x \frac{dy}{dx} + y

4. Производная правой части (0): \frac{d}{dx} 0 = 0

Шаг 2: Записываем уравнение после дифференцирования
\cos y \frac{dy}{dx} + \cos x + x \frac{dy}{dx} + y = 0

Шаг 3: Выражаем ( \frac{dy}{dx} )
Переносим все слагаемые, содержащие ( \frac{dy}{dx} ), в одну сторону:

(\cos y + x) \frac{dy}{dx} = - (\cos x + y)

Делим обе части на ( \cos y + x ):

\frac{dy}{dx} = \frac{- (\cos x + y)}{\cos y + x}

Ответ:
\frac{dy}{dx} = \frac{- (\cos x + y)}{\cos y + x}

Вывод

Мы продифференцировали три неявно заданные функции, используя неявное дифференцирование, правило производной сложной функции и правило Лейбница. Полученные выражения для ( \frac{dy}{dx} ) позволяют найти производную ( y ) в зависимости от ( x ) и ( y ).