Построить график функции с помощью производной первого порядка

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление, исследование функций

Рассмотрим задание 1.28:
[ y = 16x^3 - 12x^2 - 4 ]

Необходимо построить график функции с помощью производной первого порядка. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем первую производную функции:

Функция: y = 16x^3 - 12x^2 - 4

Применяя правило дифференцирования степенной функции: \frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}, получаем: y' = \frac{d}{dx}(16x^3) - \frac{d}{dx}(12x^2) - \frac{d}{dx}(4)

Результат: y' = 48x^2 - 24x

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся из условия y' = 0.

Решаем уравнение: 48x^2 - 24x = 0

Вынесем 24x за скобки: 24x(2x - 1) = 0

Решения: x = 0 или x = \frac{1}{2}

3. Определим знаки производной:

Исследуем знак производной в интервалах, определяемых критическими точками:
(-\infty; 0), (0; \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}; +\infty).

Подставим тестовые значения из каждого интервала в производную y' = 48x^2 - 24x:

• На интервале (-\infty; 0):
  Подставим x = -1:
  y' = 48(-1)^2 - 24(-1) = 48 + 24 = 72 > 0
  Производная положительна.

• На интервале (0; \frac{1}{2}):
  Подставим x = \frac{1}{4}:
  y' = 48\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 24\left(\frac{1}{4}\right) = 48\left(\frac{1}{16}\right) - 6 = 3 - 6 = -3 < 0
  Производная отрицательна.

• На интервале (\frac{1}{2}; +\infty):
  Подставим x = 1:
  y' = 48(1)^2 - 24(1) = 48 - 24 = 24 > 0
  Производная положительна.

4. Найдем точки экстремума:

• В точке x = 0:
  Производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
  Значение функции:
  y(0) = 16(0)^3 - 12(0)^2 - 4 = -4
  Точка: (0; -4).

• В точке x = \frac{1}{2}:
  Производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.
  Значение функции:
  y\left(\frac{1}{2}\right) = 16\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 12\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 = 16\left(\frac{1}{8}\right) - 12\left(\frac{1}{4}\right) - 4 = 2 - 3 - 4 = -5
  Точка: \left(\frac{1}{2}; -5\right).

5. Построим график:

• Функция возрастает на интервалах (-\infty; 0) и (\frac{1}{2}; +\infty).
• Функция убывает на интервале (0; \frac{1}{2}).
• Точка максимума: (0; -4).
• Точка минимума: \left(\frac{1}{2}; -5\right).

С учетом поведения функции и экстремумов можно построить график.

Если нужно, могу дополнительно визуализировать график.