Построение графика функции с помощью производной первого порядка

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление, построение графиков функций

Рассмотрим задание 1.27:
[ y = -\frac{(x - 2)^2 (x - 6)^2}{16} ]

Построение графика функции с помощью производной первого порядка:

1. Найдем первую производную функции:

Функция имеет вид: y = -\frac{(x - 2)^2 (x - 6)^2}{16}

Обозначим: u = (x - 2)^2, \, v = (x - 6)^2
Тогда: y = -\frac{u v}{16}

Используем правило производной произведения: \frac{d}{dx}\left(-\frac{u v}{16}\right) = -\frac{1}{16} \cdot \left(u'v + uv'\right)

Найдем производные u и v:

1. u = (x - 2)^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 2(x - 2)
2. v = (x - 6)^2 \quad \Rightarrow \quad v' = 2(x - 6)

Подставим производные:

y' = -\frac{1}{16} \cdot \left[2(x - 2)(x - 6)^2 + (x - 2)^2 \cdot 2(x - 6)\right]

Вынесем общий множитель: y' = -\frac{1}{16} \cdot 2(x - 2)(x - 6)\left[(x - 6) + (x - 2)\right]

Упростим выражение: y' = -\frac{1}{8} \cdot (x - 2)(x - 6)(2x - 8)

Финальная форма производной: y' = -\frac{1}{8} \cdot (x - 2)(x - 6)(x - 4)

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся из уравнения y' = 0.
Решим: (x - 2)(x - 6)(x - 4) = 0
Ответ: x = 2, \, x = 4, \, x = 6

3. Определим знаки производной:

Исследуем знаки производной на промежутках:

1. x \in (-\infty, 2)
2. x \in (2, 4)
3. x \in (4, 6)
4. x \in (6, +\infty)

Подставляем тестовые точки в производную, чтобы определить возрастание/убывание функции.

4. Найдем вторую производную (для уточнения характера экстремумов):

Аналогично вычисляется вторая производная, чтобы подтвердить минимумы и максимумы.

5. Построим график:

• Критические точки: x = 2, \, x = 4, \, x = 6.
• Исследуем поведение функции на заданных промежутках.
• Учитываем, что функция четная относительно (x - 4).
• Построим график, отображая экстремумы и точки перегиба.