Нужно найти производную функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Нам нужно найти производную функции y = \ln(\tanh(3x + 2)).

Решение:

1. Используем правило дифференцирования сложной функции: Если y = \ln(f(x)), то производная равна: \frac{d}{dx}[\ln(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x)}.

   Здесь f(x) = \tanh(3x + 2). Для начала найдем производную гиперболического тангенса.

2. Производная гиперболического тангенса: Известно, что: \frac{d}{dx}[\tanh(u)] = \text{sech}^2(u), где \text{sech}(u) = \frac{1}{\cosh(u)}.

   У нас u = 3x + 2, поэтому: \frac{d}{dx}[\tanh(3x + 2)] = \text{sech}^2(3x + 2) \cdot \frac{d}{dx}[3x + 2] = 3 \cdot \text{sech}^2(3x + 2).

3. Подставляем в формулу для производной логарифма: Теперь, применяя правило дифференцирования логарифма, получаем: y' = \frac{\frac{d}{dx}[\tanh(3x + 2)]}{\tanh(3x + 2)} = \frac{3 \cdot \text{sech}^2(3x + 2)}{\tanh(3x + 2)}.

4. Записываем окончательный ответ: y' = \frac{3 \cdot \text{sech}^2(3x + 2)}{\tanh(3x + 2)}.