Найти значения (x), при которых производная функции (f(x)) равна нулю

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Рассмотрим каждое задание по очереди.

Задание 1. Найти значения (x), при которых производная функции (f(x)) равна нулю:

[f(x) = x^5 - 3x^3 + 52x + 1]

Решение:

Находим производную функции (f(x)): f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 - 3x^3 + 52x + 1)\

Используем правило дифференцирования суммы и степенной функции: f'(x) = 5x^4 - 9x^2 + 52

Теперь находим значения (x), при которых (f'(x) = 0): 5x^4 - 9x^2 + 52 = 0

Обозначим (y = x^2), тогда уравнение перепишется как: 5y^2 - 9y + 52 = 0

Это квадратное уравнение относительно (y). Находим дискриминант: D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 52 = 81 - 1040 = -959

Так как дискриминант отрицательный ((D < 0)), уравнение корней не имеет. Следовательно, производная (f'(x)) нигде не обращается в ноль.

Ответ: Значений (x), при которых (f'(x) = 0), не существует.

Задание 2. Найти производную функции:

[ f(x) = \frac{-x^2 - 2x}{4x^2 + 5} ]

Решение:

Для нахождения производной дробной функции используем правило производной частного: [ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}, ] где (u(x) = -x^2 - 2x), (v(x) = 4x^2 + 5).

1. Найдём производные числителя (u(x)) и знаменателя (v(x)): [ u'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 - 2x) = -2x - 2, ] [ v'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 + 5) = 8x. ]

2. Подставляем в формулу производной дроби: [ f'(x) = \frac{(-2x - 2)(4x^2 + 5) - (-x^2 - 2x)(8x)}{(4x^2 + 5)^2}. ]

3. Упростим числитель: [ (-2x - 2)(4x^2 + 5) = -8x^3 - 10x - 8x^2 - 10, ] [ (-x^2 - 2x)(8x) = -8x^3 - 16x^2. ] Подставляем: [ f'(x) = \frac{-8x^3 - 10x - 8x^2 - 10 - (-8x^3 - 16x^2)}{(4x^2 + 5)^2}. ]

4. Упростим далее: [ f'(x) = \frac{-8x^3 - 10x - 8x^2 - 10 + 8x^3 + 16x^2}{(4x^2 + 5)^2}. ] Сокращаем: [ f'(x) = \frac{8x^2 - 10x - 10}{(4x^2 + 5)^2}. ]

Ответ: [ f'(x) = \frac{8x^2 - 10x - 10}{(4x^2 + 5)^2}. ]

Задание 3. Найти производную функции:

[ f(x) = (3x - 4)(4 - 5x) ]

Решение:

Используем правило производной произведения: [ \left(u(x)v(x)\right)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x), ] где (u(x) = 3x - 4), (v(x) = 4 - 5x).

1. Найдём производные (u'(x)) и (v'(x)): [ u'(x) = \frac{d}{dx}(3x - 4) = 3, ] [ v'(x) = \frac{d}{dx}(4 - 5x) = -5. ]

2. Подставляем в формулу: [ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3(4 - 5x) + (3x - 4)(-5). ]

3. Упростим: [ f'(x) = 12 - 15x - 15x + 20. ] [ f'(x) = -30x + 32. ]

Ответ: [ f'(x) = -30x + 32. ]

Задание 4. Найти производную функции:

[ f(x) = \sqrt[3]{x} ]

Решение:

Представим функцию в виде степенной: [ f(x) = x^{1/3}. ]

Используем правило производной степенной функции: [ \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}. ]

Находим производную: [ f'(x) = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}. ]

Ответ: [ f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}. ]

Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь!