Найти вторую производную по параметрическим уравнениям

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление (параметрические производные)

Нам нужно найти вторую производную y''_{xx} по параметрическим уравнениям:

 x = \sin^2 t, \quad y = \ln(\cos t). 

Затем вычислить y''_{xx} при t = \frac{\pi}{3}.

Шаг 1. Найдём первую производную y'_x.

По определению производной для параметрических уравнений:

 y'_x = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}. 

1.1. Найдём \frac{dx}{dt}:

 x = \sin^2 t \implies \frac{dx}{dt} = 2 \sin t \cos t = \sin(2t). 

1.2. Найдём \frac{dy}{dt}:

 y = \ln(\cos t) \implies \frac{dy}{dt} = \frac{1}{\cos t} \cdot (-\sin t) = -\tan t. 

1.3. Найдём y'_x:

 y'_x = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-\tan t}{\sin(2t)}. 

Шаг 2. Найдём вторую производную y''_{xx}.

По определению второй производной для параметрических уравнений:

 y''_{xx} = \frac{d}{dx}\left(y'_x\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(y'_x\right)}{\frac{dx}{dt}}. 

2.1. Найдём производную \frac{d}{dt}\left(y'_x\right):

 y'_x = \frac{-\tan t}{\sin(2t)}. 

Используем правило производной частного:  \frac{d}{dt}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2},  где u = -\tan t и v = \sin(2t).

Найдём u':

 u = -\tan t \implies u' = -\sec^2 t. 

Найдём v':

 v = \sin(2t) \implies v' = 2\cos(2t). 

Подставим:

 \frac{d}{dt}\left(y'_x\right) = \frac{(-\sec^2 t) \sin(2t) - (-\tan t)(2\cos(2t))}{\sin^2(2t)}. 

Упростим числитель:  (-\sec^2 t) \sin(2t) + 2\tan t \cos(2t). 

Подставим \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} и \sec^2 t = 1 + \tan^2 t, если потребуется.

2.2. Найдём y''_{xx}:

 y''_{xx} = \frac{\frac{d}{dt}\left(y'_x\right)}{\frac{dx}{dt}}. 

Подставим \frac{dx}{dt} = \sin(2t).

Шаг 3. Вычислим y''_{xx} при t = \frac{\pi}{3}.

Подставим t = \frac{\pi}{3} в итоговую формулу и вычислим значение.