Найти вторую производную

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Нам необходимо найти вторую производную y''_{xx}, если t = \frac{\pi}{3}, при заданных зависимостях:
 \begin{cases} x = \sin^2 t, \ y = \ln(\cos t). \end{cases} 

Шаг 1: Найдем первую производную \frac{dy}{dx}

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования параметрически заданной функции:
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Вычислим \frac{dx}{dt}:

 x = \sin^2 t \implies \frac{dx}{dt} = 2\sin t \cdot \cos t = \sin(2t). 

Вычислим \frac{dy}{dt}:

 y = \ln(\cos t) \implies \frac{dy}{dt} = \frac{1}{\cos t} \cdot (-\sin t) = -\tan t. 

Подставим:

 \frac{dy}{dx} = \frac{-\tan t}{\sin(2t)}. 

Шаг 2: Найдем вторую производную \frac{d^2y}{dx^2}

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования дробной функции:
 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}. 

Вычислим производную \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right):

 \frac{dy}{dx} = \frac{-\tan t}{\sin(2t)}. 

Применим правило производной частного:
 \frac{d}{dt}\left(\frac{-\tan t}{\sin(2t)}\right) = \frac{\sin(2t) \cdot \frac{d}{dt}(-\tan t) - (-\tan t) \cdot \frac{d}{dt}(\sin(2t))}{\sin^2(2t)}. 

Найдем \frac{d}{dt}(-\tan t):

 \frac{d}{dt}(-\tan t) = -\sec^2 t. 

Найдем \frac{d}{dt}(\sin(2t)):

 \frac{d}{dt}(\sin(2t)) = 2\cos(2t). 

Подставим:
 \frac{d}{dt}\left(\frac{-\tan t}{\sin(2t)}\right) = \frac{\sin(2t) \cdot (-\sec^2 t) - (-\tan t) \cdot 2\cos(2t)}{\sin^2(2t)} = \frac{-\sin(2t)\sec^2 t + 2\tan t \cos(2t)}{\sin^2(2t)}. 

Найдем \frac{d^2y}{dx^2}:

 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{-\sin(2t)\sec^2 t + 2\tan t \cos(2t)}{\sin^2(2t)}}{\sin(2t)} = \frac{-\sin(2t)\sec^2 t + 2\tan t \cos(2t)}{\sin^3(2t)}. 

Шаг 3: Подставим t = \frac{\pi}{3}

Найдем значения тригонометрических функций:

 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \quad \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}. 
 \sin(2t) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(2t) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}. 
 \sec^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)} = 4. 

Подставим в выражение:

 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\sin(2t)\sec^2 t + 2\tan t \cos(2t)}{\sin^3(2t)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 + 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3}. 

Упростим числитель:
 -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 + 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2\sqrt{3} - \sqrt{3} = -3\sqrt{3}. 

Упростим знаменатель:
 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}. 

Итог:
 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-3\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{3}}{8}} = -8. 

Ответ:

 y''_{xx} = -8.