Найти уравнение касательной к графику функции в указанной точке

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление (Производная и касательная к графику функции)

Дано:
F(x) = \cos(3x) - 1
Точка: x = -\frac{\pi}{2}

Задача: Найти уравнение касательной к графику функции в указанной точке.

Шаг 1. Найдем значение функции в точке:
F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(3 \cdot -\frac{\pi}{2}\right) - 1 = \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 1

Так как косинус чётная функция, \cos(-\theta) = \cos(\theta), значит:
\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0

Следовательно:
F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - 1 = -1

Шаг 2. Найдем производную функции:
F'(x) = \frac{d}{dx} \left(\cos(3x) - 1\right) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3 \sin(3x)

Шаг 3. Найдем значение производной в точке:
F'\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -3 \sin\left(3 \cdot -\frac{\pi}{2}\right) = -3 \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)

Синус нечётная функция, \sin(-\theta) = -\sin(\theta), значит:
\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1

Следовательно:
F'\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -3 \cdot 1 = -3

Шаг 4. Запишем уравнение касательной по формуле:
y - y_0 = m (x - x_0), где
m = F'(x_0),
x_0 = -\frac{\pi}{2},
y_0 = F(x_0) = -1

Подставляем:
y - (-1) = -3 \left(x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)
y + 1 = -3 \left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Ответ:
y = -3 \left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 1