Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем уравнение касательной к графику функции ( y = \frac{1}{3x - 2} ) в точке с абсциссой ( x = 1 ).

Шаг 1. Найдем производную функции

Производная функции ( y = \frac{1}{3x - 2} ) находится по правилу производной дробной функции:

y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3x - 2} \right) = -\frac{1 \cdot (3)}{(3x - 2)^2} = -\frac{3}{(3x - 2)^2}

Шаг 2. Вычислим значение производной в точке ( x = 1 )

Подставим ( x = 1 ) в производную:

y'(1) = -\frac{3}{(3 \cdot 1 - 2)^2} = -\frac{3}{1^2} = -3

Итак, угловой коэффициент касательной равен k = -3.

Шаг 3. Найдем значение функции в точке ( x = 1 )

Подставим ( x = 1 ) в исходную функцию:

y(1) = \frac{1}{3 \cdot 1 - 2} = \frac{1}{1} = 1

Точка касания: ( (1, 1) ).

Шаг 4. Уравнение касательной

Уравнение касательной имеет вид:

y - y_0 = k(x - x_0),

где ( k = -3 ), ( (x_0, y_0) = (1, 1) ). Подставим значения:

y - 1 = -3(x - 1).

Преобразуем:

y - 1 = -3x + 3,
y = -3x + 4.

Ответ:

Уравнение касательной:
y = -3x + 4.