Найти уравнение касательной

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление, уравнение касательной и нормали

Дано уравнение функции:
 y = -\arctg(4 - 3x) 
Точка:  x_0 = 1 

1. Найдем производную функции

Для нахождения уравнения касательной и нормали нам нужно вычислить производную функции:
 y' = \frac{d}{dx} \left( -\arctg(4 - 3x) \right) 

Используем производную арктангенса:
 \frac{d}{dx} \arctg u = \frac{u'}{1 + u^2} 

Где  u = 4 - 3x , тогда
 u' = -3 

Следовательно,
 y' = -\frac{-3}{1 + (4 - 3x)^2} = \frac{3}{1 + (4 - 3x)^2} 

Подставляем  x_0 = 1 :
 y'(1) = \frac{3}{1 + (4 - 3 \cdot 1)^2} = \frac{3}{1 + (4 - 3)^2} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2} 

2. Найдем точку касания

Вычисляем  y(1) :
 y(1) = -\arctg(4 - 3 \cdot 1) = -\arctg(1) 

Так как  \arctg(1) = \frac{\pi}{4} , то
 y(1) = -\frac{\pi}{4} 

Точка касания:  (1, -\frac{\pi}{4}) 

3. Уравнение касательной

Уравнение касательной имеет вид:
 y - y_0 = k(x - x_0) 

Подставляем значения:
 y + \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} (x - 1) 

Приводим к стандартному виду:
 y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} - \frac{\pi}{4} 

4. Уравнение нормали

Коэффициент нормали — это обратное число с противоположным знаком:
 k_{\text{норм}} = -\frac{1}{k} = -\frac{2}{3} 

Уравнение нормали:
 y - y_0 = k_{\text{норм}} (x - x_0) 

Подставляем значения:
 y + \frac{\pi}{4} = -\frac{2}{3} (x - 1) 

Приводим к стандартному виду:
 y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{\pi}{4} 

Ответ:

• Уравнение касательной:
   y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} - \frac{\pi}{4} 
• Уравнение нормали:
   y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{\pi}{4}