Найти точки перегиба и интервалы выпуклости

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости функции f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}}.

Шаг 1: Найдем первую производную функции

Для определения точек перегиба и интервалов выпуклости нам нужно вычислить первую и вторую производные. Используем правило произведения для нахождения первой производной. Напомним, что производная произведения двух функций u(x) и v(x) задается как:
(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'.

Здесь:
u(x) = x,
v(x) = e^{\frac{2}{x}}.

1. Производная от u(x) = x:
   u'(x) = 1.

2. Производная от v(x) = e^{\frac{2}{x}}:
   Сначала найдем производную показательной функции:
   v'(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right).

Производная \frac{2}{x} равна:
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right) = -\frac{2}{x^2}.

Таким образом:
v'(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right).

Теперь подставим все в формулу для первой производной:
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x), то есть:
f'(x) = 1 \cdot e^{\frac{2}{x}} + x \cdot \left(e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right)\right).

Упростим:
f'(x) = e^{\frac{2}{x}} - \frac{2}{x} \cdot e^{\frac{2}{x}}.

Факторизуем:
f'(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right).

Шаг 2: Найдем вторую производную функции

Для определения точек перегиба нам нужна вторая производная. Продифференцируем f'(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right) по правилу произведения.

Обозначим:
u(x) = e^{\frac{2}{x}},
v(x) = \left(1 - \frac{2}{x}\right).

1. Производная от u(x) = e^{\frac{2}{x}} уже найдена:
   u'(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right).

2. Производная от v(x) = 1 - \frac{2}{x}:
   v'(x) = 0 - \left(-\frac{2}{x^2}\right) = \frac{2}{x^2}.

Теперь подставим в формулу для второй производной:
f''(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).

Подставляем значения:
f''(x) = \left(e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right)\right) \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right) + \left(e^{\frac{2}{x}}\right) \cdot \frac{2}{x^2}.

Вынесем общий множитель e^{\frac{2}{x}}:
f''(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left[\left(-\frac{2}{x^2}\right) \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right) + \frac{2}{x^2}\right].

Упростим выражение в скобках:
f''(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left[-\frac{2}{x^2} + \frac{4}{x^3} + \frac{2}{x^2}\right].

Сложим подобные слагаемые:
f''(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \frac{4}{x^3}.

Шаг 3: Исследуем выпуклость и точки перегиба

1. Для определения точек перегиба решим уравнение f''(x) = 0:
   e^{\frac{2}{x}} \cdot \frac{4}{x^3} = 0.

Поскольку показатель экспоненты e^{\frac{2}{x}} никогда не равен нулю, то:
\frac{4}{x^3} = 0.

Это уравнение не имеет решений, следовательно, у функции нет точек перегиба.

2. Для исследования выпуклости рассмотрим знак второй производной:
   f''(x) = e^{\frac{2}{x}} \cdot \frac{4}{x^3}.

• Если x > 0, то \frac{4}{x^3} > 0, следовательно, f''(x) > 0. Функция выпукла вверх.
• Если x < 0, то \frac{4}{x^3} < 0, следовательно, f''(x) < 0. Функция выпукла вниз.

Ответ:

1. Точек перегиба нет.
2. Интервалы выпуклости:
   • Функция выпукла вверх на интервале (0, +\infty).
   • Функция выпукла вниз на интервале (-\infty, 0).