Найти соответствующую производную

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Рассмотрим каждую функцию отдельно и найдем соответствующую производную.

a) y = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x^4}

Для нахождения производной используем правило дифференцирования дроби:

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2},
где u = \sqrt{x^2 + 4} и v = x^4.

1. Найдем u' = \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 4} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}.
2. Найдем v' = \frac{d}{dx} x^4 = 4x^3.

Теперь подставим в формулу производной дроби:

y' = \frac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\right)x^4 - \sqrt{x^2 + 4} \cdot 4x^3}{x^8}.

Упростим числитель:

x^4 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} - 4x^3 \cdot \sqrt{x^2 + 4} = \frac{x^5}{\sqrt{x^2 + 4}} - 4x^3 \sqrt{x^2 + 4}.

Общий вид производной:

y' = \frac{\frac{x^5}{\sqrt{x^2 + 4}} - 4x^3 \sqrt{x^2 + 4}}{x^8} = \frac{x^5 - 4x^3 (x^2 + 4)}{x^8 \sqrt{x^2 + 4}}.

b) y = e^x \cdot (2 \sin 5x + \cos 5x)

Используем правило производной произведения:

(uv)' = u'v + uv'.

1. u = e^x, \quad u' = e^x.
2. v = 2 \sin 5x + \cos 5x.
   Найдем v':
   v' = \frac{d}{dx}(2 \sin 5x + \cos 5x) = 2 \cdot 5 \cos 5x - 5 \sin 5x = 10 \cos 5x - 5 \sin 5x.

Теперь подставим в формулу:

y' = e^x \cdot (2 \sin 5x + \cos 5x)' + e^x \cdot (2 \sin 5x + \cos 5x).

y' = e^x \cdot (10 \cos 5x - 5 \sin 5x) + e^x \cdot (2 \sin 5x + \cos 5x).

Упрощаем:

y' = e^x \cdot \left(10 \cos 5x - 5 \sin 5x + 2 \sin 5x + \cos 5x\right).

y' = e^x \cdot \left(11 \cos 5x - 3 \sin 5x\right).

c) x^3 y - \frac{1}{y} + x = 0

Это неявная функция, поэтому используем метод неявного дифференцирования. Дифференцируем обе части уравнения по x:

\frac{d}{dx}(x^3 y) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) + \frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(0).

1. Первая производная:
   \frac{d}{dx}(x^3 y) = 3x^2 y + x^3 y'.
2. Вторая производная:
   \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y^2} \cdot y'.
3. Третья производная:
   \frac{d}{dx}(x) = 1.

Подставим все в уравнение:

3x^2 y + x^3 y' - \frac{1}{y^2} y' + 1 = 0.

Сгруппируем члены с y':

x^3 y' - \frac{1}{y^2} y' = -3x^2 y - 1.

Вынесем y' за скобки:

y' \left(x^3 - \frac{1}{y^2}\right) = -3x^2 y - 1.

Найдем y':

y' = \frac{-3x^2 y - 1}{x^3 - \frac{1}{y^2}}.

Ответ:

a) y' = \frac{x^5 - 4x^3 (x^2 + 4)}{x^8 \sqrt{x^2 + 4}}
b) y' = e^x \cdot (11 \cos 5x - 3 \sin 5x)
c) y' = \frac{-3x^2 y - 1}{x^3 - \frac{1}{y^2}}