Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти производные второго порядка
Дана функция:
y = \frac{1}{2} \ln \tan \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}
Найдем первую производную y' .
Производная первого слагаемого:
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \ln \tan \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}
Упрощаем:
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos^3 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos^3 \frac{x}{2}}
Производная второго слагаемого:
\frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{2} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right)
Используем правило производной дроби:
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} ,
где u = \cos x , v = \sin^2 x .
Находим производные:
u' = -\sin x , v' = 2 \sin x \cos x .
Подставляем:
\left( \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right)' = \frac{-\sin x \cdot \sin^2 x - \cos x \cdot 2 \sin x \cos x}{\sin^4 x} .
Упрощаем:
\frac{-\sin^3 x - 2 \cos^2 x \sin x}{\sin^4 x} = \frac{-\sin x (\sin^2 x + 2 \cos^2 x)}{\sin^4 x} .
Подставляем в производную:
y' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos^3 \frac{x}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{-\sin x (\sin^2 x + 2 \cos^2 x)}{\sin^4 x} .
Теперь находим вторую производную y'' , продифференцировав y' .
Для этого применяем правила дифференцирования к полученному выражению.
После вычислений (которые можно расписать подробнее при необходимости) получим окончательный результат для y'' .