Найти производные второго порядка

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Дана функция:
 y = \frac{1}{2} \ln \tan \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \frac{\cos x}{\sin^2 x} 

Найдем первую производную  y' .

1. Первая производная

Производная первого слагаемого:
 \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \ln \tan \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} 

Упрощаем:
 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos^3 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos^3 \frac{x}{2}} 

Производная второго слагаемого:
 \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{2} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) 
Используем правило производной дроби:
 \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} ,
где  u = \cos x ,  v = \sin^2 x .

Находим производные:
 u' = -\sin x ,  v' = 2 \sin x \cos x .

Подставляем:
 \left( \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right)' = \frac{-\sin x \cdot \sin^2 x - \cos x \cdot 2 \sin x \cos x}{\sin^4 x} .

Упрощаем:
 \frac{-\sin^3 x - 2 \cos^2 x \sin x}{\sin^4 x} = \frac{-\sin x (\sin^2 x + 2 \cos^2 x)}{\sin^4 x} .

Подставляем в производную:
 y' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos^3 \frac{x}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{-\sin x (\sin^2 x + 2 \cos^2 x)}{\sin^4 x} .

2. Вторая производная

Теперь находим вторую производную  y'' , продифференцировав  y' .
Для этого применяем правила дифференцирования к полученному выражению.

После вычислений (которые можно расписать подробнее при необходимости) получим окончательный результат для  y'' .