Найти производные функции

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем производную функции:

y = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}.

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования дроби:

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2},

где u = \arcsin x и v = \sqrt{1 - x^2}.

Шаг 1: Найдем производные u' и v'

1. Производная u = \arcsin x:
   u' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

2. Производная v = \sqrt{1 - x^2}:
   Перепишем v как (1 - x^2)^{1/2}.
   Тогда:
   v' = \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}.

Шаг 2: Подставим в формулу для производной дроби

y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Подставим:
 y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \sqrt{1 - x^2} - \arcsin x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}}{( \sqrt{1 - x^2} )^2}. 

Шаг 3: Упростим выражение

1. Сократим \sqrt{1 - x^2} в первом слагаемом:
   \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \sqrt{1 - x^2} = 1.

2. Во втором слагаемом:
   \arcsin x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}.

3. Знаменатель (\sqrt{1 - x^2})^2 = 1 - x^2.

Итак, производная:
 y' = \frac{1 - \frac{-x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2}. 

Упростим числитель:
1 - \frac{-x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} = 1 + \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}.

И окончательно:
 y' = \frac{1 + \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2}. 

Ответ:

 y' = \frac{1 + \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2}.