Найти производные для восьми функций

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление (нахождение производных)

На изображении представлены восемь функций, для которых требуется найти производные. Рассмотрим решение каждой задачи по порядку.

1. Функция:
   y = (x^2 + 2x - 1)e^x
   Это произведение двух функций. Используем правило произведения:
   \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u'v + uv',
   где u = (x^2 + 2x - 1), а v = e^x.

   Решение:
   u' = 2x + 2,
   v' = e^x.
   Тогда:
   y' = [(2x + 2)e^x] + [(x^2 + 2x - 1)e^x].
   Итог:
   y' = e^x[(2x + 2) + (x^2 + 2x - 1)] = e^x(x^2 + 4x + 1).

2. Функция:
   y = 3 \ln x + 2 \cos x.
   Производная суммы равна сумме производных. Используем правила:
   \frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x} и \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x.

   Решение:
   y' = 3 \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot (-\sin x).
   Итог:
   y' = \frac{3}{x} - 2 \sin x.

3. Функция:
   y = \frac{-\pi}{2x - 1}.
   Это дробная функция. Используем правило производной дроби:
   \frac{d}{dx}\left[\frac{C}{g(x)}\right] = -\frac{C \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}.

   Решение:
   C = -\pi, g(x) = 2x - 1,
   g'(x) = 2.
   Тогда:
   y' = -\frac{-\pi \cdot 2}{(2x - 1)^2}.
   Итог:
   y' = \frac{2\pi}{(2x - 1)^2}.

4. Функция:
   y = \frac{\pi}{x} - e^x + \frac{2x}{x - 1}.
   Производная суммы равна сумме производных. Рассчитаем каждую часть отдельно.

   • Для \frac{\pi}{x}:
     \frac{d}{dx}\left[\frac{\pi}{x}\right] = -\frac{\pi}{x^2}.
   • Для -e^x:
     \frac{d}{dx}[-e^x] = -e^x.
   • Для \frac{2x}{x - 1}: используем правило производной дроби:
     u = 2x, v = x - 1,
     u' = 2, v' = 1.
     Тогда:
     \frac{d}{dx}\left[\frac{2x}{x - 1}\right] = \frac{(2)(x - 1) - (2x)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2}.

5. Итог:
   y' = -\frac{\pi}{x^2} - e^x - \frac{2}{(x - 1)^2}.

5. Функция:
   y = 3x \cos 3x.
   Это произведение двух функций. Используем правило произведения:
   u = 3x, v = \cos 3x.
   u' = 3, v' = -\sin 3x \cdot 3 = -3 \sin 3x.

   Тогда:
   y' = (3)(\cos 3x) + (3x)(-3 \sin 3x).
   Итог:
   y' = 3 \cos 3x - 9x \sin 3x.

6. Функция:
   y = \frac{\pi}{e^x}.
   Это дробная функция. Используем правило:
   \frac{d}{dx}\left[\frac{C}{e^x}\right] = -\frac{C \cdot (e^x)'}{(e^x)^2}.

   Решение:
   y' = -\frac{\pi \cdot e^x}{(e^x)^2} = -\frac{\pi}{e^x}.

7. Функция:
   y = \frac{x - 1}{x - \pi}.
   Используем правило производной дроби:
   u = x - 1, v = x - \pi,
   u' = 1, v' = 1.

   Тогда:
   y' = \frac{(1)(x - \pi) - (x - 1)(1)}{(x - \pi)^2} = \frac{x - \pi - x + 1}{(x - \pi)^2} = \frac{1 - \pi}{(x - \pi)^2}.

8. Функция:
   y = 3 \cot x.
   Используем правило производной:
   \frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x.

   Решение:
   y' = 3 \cdot (-\csc^2 x) = -3 \csc^2 x.

Итоговые ответы:

1. y' = e^x(x^2 + 4x + 1)
2. y' = \frac{3}{x} - 2 \sin x
3. y' = \frac{2\pi}{(2x - 1)^2}
4. y' = -\frac{\pi}{x^2} - e^x - \frac{2}{(x - 1)^2}
5. y' = 3 \cos 3x - 9x \sin 3x
6. y' = -\frac{\pi}{e^x}
7. y' = \frac{1 - \pi}{(x - \pi)^2}
8. y' = -3 \csc^2 x.