Найти производные данных функций

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем производные данных функций.

Решение:

а)  y = 5^{\operatorname{arccosh} \frac{1}{\pi}} 

Берем производную:
Используем правило дифференцирования показательной функции:
 \frac{d}{dx} a^{f(x)} = a^{f(x)} \ln a \cdot f'(x) 

Так как  \operatorname{arccosh} \frac{1}{\pi}  является константой, то ее производная равна нулю, следовательно:
 y' = 0 

б)  y = \arcsin^5 (\tan \sqrt{x}) 

Обозначим  u = \arcsin (\tan \sqrt{x}) , тогда  y = u^5 .
Используем правило дифференцирования степенной функции:

 \frac{d}{dx} u^n = n u^{n-1} u' 

Находим производную  u :
 \frac{d}{dx} \arcsin v = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \cdot v' , где  v = \tan \sqrt{x} .

Дифференцируем  v :
 \frac{d}{dx} \tan \sqrt{x} = \sec^2 \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} .

Объединяем все:

 y' = 5 (\arcsin (\tan \sqrt{x}))^4 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \tan^2 \sqrt{x}}} \cdot \sec^2 \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} .

в)  y = x^{\tan 3x} 

Используем логарифмирование:

 \ln y = \tan 3x \cdot \ln x .

Дифференцируем обе части:

 \frac{1}{y} y' = \tan 3x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot \sec^2 3x \cdot 3 .

Умножаем на  y = x^{\tan 3x} :

 y' = x^{\tan 3x} \left( \frac{\tan 3x}{x} + 3 \ln x \cdot \sec^2 3x \right) .

Ответ:

а)  y' = 0 
б)  y' = 5 (\arcsin (\tan \sqrt{x}))^4 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \tan^2 \sqrt{x}}} \cdot \sec^2 \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} 
в)  y' = x^{\tan 3x} \left( \frac{\tan 3x}{x} + 3 \ln x \cdot \sec^2 3x \right)