Найти производную y

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (производные функций)

Рассмотрим пункт 22:
Дана функция:
y = \ln \frac{1 + x^2}{1 + 3x}

Нужно найти производную y'.

Шаг 1: Используем правило дифференцирования логарифма

Напомним, что производная натурального логарифма \ln u вычисляется по формуле:
\frac{d}{dx} \ln u = \frac{u'}{u}

В данном случае u = \frac{1 + x^2}{1 + 3x}, поэтому сначала найдем производную числителя и знаменателя.

Шаг 2: Используем правило дифференцирования дроби

Если функция представлена в виде дроби \frac{f(x)}{g(x)}, то её производная находится по формуле:
\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}

Здесь:

• f(x) = 1 + x^2
• g(x) = 1 + 3x

Теперь найдем их производные:

• Производная числителя:
  (1 + x^2)' = 2x
• Производная знаменателя:
  (1 + 3x)' = 3

Теперь подставляем в формулу производной дроби:

\left( \frac{1 + x^2}{1 + 3x} \right)' = \frac{(2x)(1 + 3x) - (1 + x^2)(3)}{(1 + 3x)^2}

Раскрываем скобки в числителе:

2x + 6x^2 - 3 - 3x^2 = (6x^2 - 3x^2 + 2x - 3) = (3x^2 + 2x - 3)

Таким образом, получаем:

\frac{3x^2 + 2x - 3}{(1 + 3x)^2}

Шаг 3: Подставляем результат в формулу для логарифма

Так как y = \ln u, то его производная равна:

y' = \frac{1}{u} \cdot u'

Подставляем u = \frac{1 + x^2}{1 + 3x} и u':

y' = \frac{1}{\frac{1 + x^2}{1 + 3x}} \cdot \frac{3x^2 + 2x - 3}{(1 + 3x)^2}

Переписываем дробь:

y' = \frac{(1 + 3x)(3x^2 + 2x - 3)}{(1 + x^2)(1 + 3x)^2}

Сокращаем (1 + 3x) в числителе и знаменателе:

y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(1 + x^2)(1 + 3x)}

Ответ:

y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(1 + x^2)(1 + 3x)}