Найти производную и построить график

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Нам дана функция:
f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5

1. Найдем производную

Производная функции вычисляется по правилу:
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}

Применяя это правило к каждому слагаемому:

• Производная от \frac{1}{2}x^2:
  \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x^2 \right) = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = x

• Производная от \frac{1}{5}x^5:
  \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{5}x^5 \right) = -\frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} = -x^4

Таким образом, производная функции:
f'(x) = x - x^4

2. Построение графиков

Для построения графиков функции f(x) и ее производной f'(x) можно использовать Python с библиотекой Matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определяем функцию и ее производную
def f(x):
    return (1/2) * x**2 - (1/5) * x**5

def df(x):
    return x - x**4

# Создаем массив значений x
x = np.linspace(-2, 2, 400)

# Вычисляем значения функций
y = f(x)
dy = df(x)

# Строим графики
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label="f(x) = 1/2 * x^2 - 1/5 * x^5", color='blue')
plt.plot(x, dy, label="f'(x) = x - x^4", color='red', linestyle='dashed')

# Добавляем оси и легенду
plt.axhline(0, color='black', linewidth=1)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=1)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title("Графики функции и ее производной")
plt.show()

Этот код строит графики функции f(x) (синяя линия) и ее производной f'(x) (красная пунктирная линия).