Найти производную функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем производную функции:
y = \arcsin\sqrt{\tan^3(4x)}.

Шаг 1: Применение цепного правила

Производная арксинуса имеет вид:
\frac{d}{dx} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u',
где u — внутренняя функция.

В данном случае u = \sqrt{\tan^3(4x)}. Производная будет:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx}.

Шаг 2: Производная внутренней функции

Рассмотрим u = \sqrt{\tan^3(4x)}.
Ее производная:
\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^3(4x)}} \cdot \frac{d}{dx}(\tan^3(4x)).

Теперь найдем производную \tan^3(4x). Используем правило производной степени:
\frac{d}{dx}(\tan^3(4x)) = 3\tan^2(4x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan(4x)).

Производная тангенса:
\frac{d}{dx}(\tan(4x)) = 4 \cdot \sec^2(4x).

Подставляем:
\frac{d}{dx}(\tan^3(4x)) = 3\tan^2(4x) \cdot 4\sec^2(4x) = 12\tan^2(4x)\sec^2(4x).

Следовательно,
\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^3(4x)}} \cdot 12\tan^2(4x)\sec^2(4x) = \frac{6\tan^2(4x)\sec^2(4x)}{\sqrt{\tan^3(4x)}}.

Шаг 3: Подстановка

Подставляем u = \sqrt{\tan^3(4x)} и \frac{du}{dx} в формулу для \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{\tan^3(4x)})^2}} \cdot \frac{6\tan^2(4x)\sec^2(4x)}{\sqrt{\tan^3(4x)}}.

Упрощаем:
\sqrt{\tan^3(4x)}^2 = \tan^3(4x),
поэтому:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \tan^3(4x)}} \cdot \frac{6\tan^2(4x)\sec^2(4x)}{\sqrt{\tan^3(4x)}}.

Ответ:

\frac{dy}{dx} = \frac{6\tan^2(4x)\sec^2(4x)}{\sqrt{\tan^3(4x)} \cdot \sqrt{1 - \tan^3(4x)}}.