Найти производную функции y(x), а затем вычислим значение производной в точке

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем производную функции y(x), а затем вычислим значение производной в точке x = 0.

Функция дана как:
y = \arcsin\left(20x + \frac{3}{5}\right) + \tan(8x).

Шаг 1. Найдем производную y'(x)

Используем правила дифференцирования:

• Производная арксинуса:
  \frac{d}{dx}(\arcsin(u)) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u', где u = 20x + \frac{3}{5}.
• Производная тангенса:
  \frac{d}{dx}(\tan(v)) = \sec^2(v) \cdot v', где v = 8x.

Производная первой части:

Для \arcsin\left(20x + \frac{3}{5}\right):
u = 20x + \frac{3}{5}, поэтому u' = 20.
Тогда:
\frac{d}{dx} \arcsin\left(20x + \frac{3}{5}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(20x + \frac{3}{5}\right)^2}} \cdot 20.

Производная второй части:

Для \tan(8x):
v = 8x, поэтому v' = 8.
Тогда:
\frac{d}{dx} \tan(8x) = \sec^2(8x) \cdot 8.

Общая производная:

Складываем результаты:
y'(x) = \frac{20}{\sqrt{1 - \left(20x + \frac{3}{5}\right)^2}} + 8 \cdot \sec^2(8x).

Шаг 2. Вычислим y'(0)

Подставим x = 0.

Первая часть:

20x + \frac{3}{5} \big|_{x=0} = \frac{3}{5}.
Тогда:
\frac{1}{\sqrt{1 - \left(20x + \frac{3}{5}\right)^2}} \big|_{x=0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{16}{25}}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}.
Умножаем на 20:
\frac{20}{\sqrt{1 - \left(20x + \frac{3}{5}\right)^2}} \big|_{x=0} = 20 \cdot \frac{5}{4} = 25.

Вторая часть:

\sec^2(8x) \big|_{x=0} = \sec^2(0) = 1.
Тогда:
8 \cdot \sec^2(8x) \big|_{x=0} = 8 \cdot 1 = 8.

Итог:

y'(0) = 25 + 8 = 33.

Ответ:

y'(0) = 33.