Найти производную функции по направлению в заданной точке

Предмет: Математический анализ

Раздел: Частные производные и производная по направлению

Необходимо найти производную функции по направлению в заданной точке. Производная функции ( f(x, y) ) по направлению вектора ( \mathbf{l} = (l_1, l_2) ) определяется как:

 D_{\mathbf{l}} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \frac{\mathbf{l}}{|\mathbf{l}|} 

где ( \nabla f(x, y) ) — градиент функции, а ( \frac{\mathbf{l}}{|\mathbf{l}|} ) — единичный вектор направления.

Рассмотрим пункт 5a:

Функция:  u = x^2 + 3y^2 + 2xy + x + 2y + 5 

Точка:  P(3,3) 

Вектор направления:  \mathbf{l} = (0, -3) 

Шаг 1: Найдём градиент функции
Градиент — это вектор частных производных:

 \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) 

Вычислим частные производные:

 \frac{\partial u}{\partial x} = 2x + 2y + 1 

 \frac{\partial u}{\partial y} = 6y + 2x + 2 

Подставим ( P(3,3) ):

 \frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{(3,3)} = 2(3) + 2(3) + 1 = 13 

 \frac{\partial u}{\partial y} \Big|_{(3,3)} = 6(3) + 2(3) + 2 = 26 

Таким образом, градиент в точке ( P(3,3) ):

 \nabla u (3,3) = (13, 26) 

Шаг 2: Найдём единичный вектор направления
Модуль вектора ( \mathbf{l} = (0, -3) ):

 |\mathbf{l}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3 

Единичный вектор:

 \mathbf{e} = \left( \frac{0}{3}, \frac{-3}{3} \right) = (0, -1) 

Шаг 3: Найдём производную по направлению
Скалярное произведение:

 D_{\mathbf{l}} u (3,3) = (13, 26) \cdot (0, -1) = 13 \cdot 0 + 26 \cdot (-1) = -26 

Ответ:
Производная функции в точке ( P(3,3) ) по направлению вектора ( \mathbf{l} = (0, -3) ) равна:

 D_{\mathbf{l}} u (3,3) = -26