Найти производную функции используя правило производной произведения

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (производные функций)

Нам дана функция:
[ y = (5x - 4)(2x^4 - 7x + 1) ]
и требуется найти её производную.

Используем правило производной произведения:
[ (uv)' = u'v + uv' ]
где:

• ( u = 5x - 4 ),
• ( v = 2x^4 - 7x + 1 ).

Шаг 1: Находим производные

[ u' = (5x - 4)' = 5 ] [ v' = (2x^4 - 7x + 1)' = 8x^3 - 7 ]

Шаг 2: Применяем правило произведения

[ y' = u'v + uv' ] [ y' = 5(2x^4 - 7x + 1) + (5x - 4)(8x^3 - 7) ]

Шаг 3: Раскрываем скобки

[ y' = 10x^4 - 35x + 5 + (5x - 4)(8x^3 - 7) ]

Рассчитаем второе произведение:
[ (5x - 4)(8x^3 - 7) = 5x(8x^3) + 5x(-7) + (-4)(8x^3) + (-4)(-7) ] [ = 40x^4 - 35x - 32x^3 + 28 ]

Шаг 4: Собираем все вместе

[ y' = 10x^4 - 35x + 5 + 40x^4 - 35x - 32x^3 + 28 ]

Шаг 5: Приводим подобные слагаемые

[ y' = (10x^4 + 40x^4) + (-32x^3) + (-35x - 35x) + (5 + 28) ] [ y' = 50x^4 - 32x^3 - 70x + 33 ]

Ответ:

y' = 50x^4 - 32x^3 - 70x + 33