Найти производную функции

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем производную функции:
y = \arcsin\sqrt{\tan^3(4x)}.

Решение:

1. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная арксинуса:
   \frac{d}{dx}[\arcsin(u)] = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}},
   где u = \sqrt{\tan^3(4x)}.

2. Найдем производную u = \sqrt{\tan^3(4x)}:
   u = (\tan(4x))^{3/2}.
   Применим правило дифференцирования степенной функции:
   \frac{d}{dx}[(\tan(4x))^{3/2}] = \frac{3}{2}(\tan(4x))^{1/2} \cdot \frac{d}{dx}[\tan(4x)].

3. Производная тангенса:
   \frac{d}{dx}[\tan(4x)] = 4 \cdot \sec^2(4x).

   Тогда:
   \frac{d}{dx}[(\tan(4x))^{3/2}] = \frac{3}{2}(\tan(4x))^{1/2} \cdot 4 \cdot \sec^2(4x).

4. Подставим u' и u в формулу для производной арксинуса:
   \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{3}{2}(\tan(4x))^{1/2} \cdot 4 \cdot \sec^2(4x)}{\sqrt{1 - (\tan^3(4x))}}.

5. Упростим выражение:
   \frac{dy}{dx} = \frac{6 \cdot (\tan(4x))^{1/2} \cdot \sec^2(4x)}{\sqrt{1 - \tan^3(4x)}}.

Ответ:

\frac{dy}{dx} = \frac{6 \cdot (\tan(4x))^{1/2} \cdot \sec^2(4x)}{\sqrt{1 - \tan^3(4x)}}.