Найти производную для заданных функций

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Рассмотрим задачу №2: необходимо найти производную \frac{dy}{dx} для заданных функций.

1. Функция y = x \ln x

Для нахождения производной используем правило произведения:
\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u' \cdot v + u \cdot v'.
Здесь u = x, v = \ln x.

Находим производную:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[x \ln x] = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1.

2. Функция y = \frac{(x+1)^3 \cdot 4(x-2)}{\sqrt[3]{(x-3)^2}}

Для нахождения производной используем правило дифференцирования дроби:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}.

Обозначим:
u = (x+1)^3 \cdot 4(x-2),
v = \sqrt[3]{(x-3)^2} = (x-3)^{2/3}.

1. Найдем u' (используем правило произведения):
   u = (x+1)^3 \cdot 4(x-2).
   u' = \frac{d}{dx}[(x+1)^3] \cdot 4(x-2) + (x+1)^3 \cdot \frac{d}{dx}[4(x-2)].
   \frac{d}{dx}[(x+1)^3] = 3(x+1)^2,
   \frac{d}{dx}[4(x-2)] = 4.
   Тогда:
   u' = 3(x+1)^2 \cdot 4(x-2) + (x+1)^3 \cdot 4 = 12(x+1)^2(x-2) + 4(x+1)^3.

2. Найдем v':
   v = (x-3)^{2/3},
   v' = \frac{2}{3}(x-3)^{-1/3} \cdot 1 = \frac{2}{3\sqrt[3]{x-3}}.

3. Подставим u, u', v, v' в формулу производной дроби:
   \frac{dy}{dx} = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}.

\frac{dy}{dx} = \frac{\left[12(x+1)^2(x-2) + 4(x+1)^3\right] \cdot (x-3)^{2/3} - (x+1)^3 \cdot 4(x-2) \cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x-3}}}{(x-3)^{4/3}}.

Упростим выражение:
\frac{dy}{dx} = \frac{(x-3)^{2/3} \cdot \left[12(x+1)^2(x-2) + 4(x+1)^3\right] - \frac{8(x+1)^3(x-2)}{3\sqrt[3]{x-3}}}{(x-3)^{4/3}}.

3. Функция 2^x + 2^y = 2^{x+y}

Найдем \frac{dy}{dx}, дифференцируя обе части уравнения:
\frac{d}{dx}[2^x] + \frac{d}{dx}[2^y] = \frac{d}{dx}[2^{x+y}].

Используем правило дифференцирования показательной функции:
\frac{d}{dx}[2^u] = 2^u \ln 2 \cdot \frac{du}{dx}.

1. Дифференцируем левую часть:
   \frac{d}{dx}[2^x] + \frac{d}{dx}[2^y] = 2^x \ln 2 + 2^y \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx}.

2. Дифференцируем правую часть:
   \frac{d}{dx}[2^{x+y}] = 2^{x+y} \ln 2 \cdot \frac{d}{dx}[x+y] = 2^{x+y} \ln 2 (1 + \frac{dy}{dx}).

3. Собираем уравнение:
   2^x \ln 2 + 2^y \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} \ln 2 (1 + \frac{dy}{dx}).

Разделим обе части на \ln 2:
2^x + 2^y \cdot \frac{dy}{dx} = 2^{x+y}(1 + \frac{dy}{dx}).

Раскроем скобки:
2^x + 2^y \cdot \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} + 2^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx}.

Перенесем все с \frac{dy}{dx} в одну сторону:
2^y \cdot \frac{dy}{dx} - 2^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} - 2^x.

Вынесем \frac{dy}{dx} за скобки:
\frac{dy}{dx} \cdot (2^y - 2^{x+y}) = 2^{x+y} - 2^x.

Найдем \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x+y} - 2^x}{2^y - 2^{x+y}}.

Ответы:

1. \frac{dy}{dx} = \ln x + 1,
2. \frac{dy}{dx} = \frac{\left[12(x+1)^2(x-2) + 4(x+1)^3\right] \cdot (x-3)^{2/3} - \frac{8(x+1)^3(x-2)}{3\sqrt[3]{x-3}}}{(x-3)^{4/3}},
3. \frac{dy}{dx} = \frac{2^{x+y} - 2^x}{2^y - 2^{x+y}}.