Найти производную для параметрически заданных функций

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление (параметрические уравнения)

Нужно найти производную \frac{dy}{dx} для параметрически заданных функций:

 \begin{cases} x = t^3 + 4t^2 - 5, \ y = 3t^2 - 1, \end{cases} \ t \in (0; +\infty). 

Решение:

Производная \frac{dy}{dx} для параметрически заданных функций находится по формуле:

 \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}. 

1. Найдем производные \frac{dx}{dt} и \frac{dy}{dt}:

   • Для x = t^3 + 4t^2 - 5:  \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 8t. 

   • Для y = 3t^2 - 1:  \frac{dy}{dt} = 6t. 

2. Подставим в формулу для \frac{dy}{dx}:

    \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{6t}{3t^2 + 8t}. 

3. Упростим выражение:

   В числителе и знаменателе можно вынести t за скобки (при t \neq 0, что выполняется, так как t \in (0; +\infty)):

    \frac{dy}{dx} = \frac{6t}{t(3t + 8)} = \frac{6}{3t + 8}. 

Ответ:

 \frac{dy}{dx} = \frac{6}{3t + 8}.