Найти производную данной функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление (нахождение производной).

Дана функция:

y = \arcsin{\sqrt{x}} \cdot \ln{(4x)}

Требуется найти производную данной функции. Обозначим её как y'.

Решение:

Функция представлена в виде произведения двух функций:

u(x) = \arcsin{\sqrt{x}}
v(x) = \ln{(4x)}.

Используем правило произведения для нахождения производной:

(uv)' = u'v + uv'.

1. Найдём производную u(x) = \arcsin{\sqrt{x}}

Используем цепное правило. Производная \arcsin(z) равна:

\frac{d}{dz} \arcsin{z} = \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}}.

Здесь z = \sqrt{x}, а производная \sqrt{x} равна:

\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Следовательно:

u'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}.

2. Найдём производную v(x) = \ln{(4x)}

Производная логарифма \ln{(4x)} равна:

v'(x) = \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{1}{x}.

3. Подставим в правило произведения

y' = u'v + uv'.

Подставляем выражения для u', v, u, и v':

y' = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}} \cdot \ln{(4x)} + \arcsin{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x}.

Ответ:

y' = \frac{\ln{(4x)}}{2\sqrt{x(1 - x)}} + \frac{\arcsin{\sqrt{x}}}{x}.