Найти производную

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем производную функции ( y(x) ) и вычислим её значение в точке ( x = -27 ).

Дана функция:
y = 1 - \sqrt[3]{x^2} + \frac{27}{x}.

Шаг 1. Найдем производную функции

Производная суммы равна сумме производных, поэтому найдем производные каждого слагаемого по отдельности.

1. Производная от константы ( 1 ):
   \frac{d}{dx}(1) = 0.

2. Производная от ( -\sqrt[3]{x^2} ):
   Для вычисления производной используем правило дифференцирования степенной функции. Перепишем ( -\sqrt[3]{x^2} ) как ( -(x^2)^{1/3} ).
   Применяем цепное правило:
   \frac{d}{dx}\left(-(x^2)^{1/3}\right) = -\frac{1}{3}(x^2)^{-2/3} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = -\frac{1}{3}(x^2)^{-2/3} \cdot 2x = -\frac{2x}{3(x^2)^{2/3}}.

3. Производная от ( \frac{27}{x} ):
   Перепишем ( \frac{27}{x} ) как ( 27x^{-1} ).
   Производная:
   \frac{d}{dx}(27x^{-1}) = 27 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{27}{x^2}.

Шаг 2. Запишем общую производную

Суммируем все найденные производные:
y'(x) = 0 - \frac{2x}{3(x^2)^{2/3}} - \frac{27}{x^2}.
Упростим:
y'(x) = -\frac{2x}{3(x^2)^{2/3}} - \frac{27}{x^2}.

Шаг 3. Вычислим ( y'(-27) )

Подставим ( x = -27 ) в производную.

1. Вычислим первую часть:
   -\frac{2x}{3(x^2)^{2/3}} = -\frac{2(-27)}{3((-27)^2)^{2/3}} = \frac{54}{3 \cdot (729)^{2/3}} = \frac{54}{3 \cdot 81} = \frac{54}{243} = \frac{2}{9}.

2. Вычислим вторую часть:
   -\frac{27}{x^2} = -\frac{27}{(-27)^2} = -\frac{27}{729} = -\frac{1}{27}.

3. Сложим результаты:
   y'(-27) = \frac{2}{9} - \frac{1}{27}.
   Приведем к общему знаменателю:
   y'(-27) = \frac{6}{27} - \frac{1}{27} = \frac{5}{27}.

Ответ:

y'(-27) = \frac{5}{27}.