Найти полный дифференциал функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Найдем полный дифференциал функции:

z = x^2 e^{y+1} - \frac{x}{y^2}.

Полный дифференциал функции z выражается как:

dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy,

где \frac{\partial z}{\partial x} и \frac{\partial z}{\partial y} — частные производные функции z по переменным x и y соответственно.

1. Вычисление \frac{\partial z}{\partial x}:

Функция z имеет вид:

z = x^2 e^{y+1} - \frac{x}{y^2}.

• Производная первого слагаемого по x: \frac{\partial}{\partial x}(x^2 e^{y+1}) = 2x e^{y+1}.

• Производная второго слагаемого по x: \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{1}{y^2}.

Итак: \frac{\partial z}{\partial x} = 2x e^{y+1} - \frac{1}{y^2}.

2. Вычисление \frac{\partial z}{\partial y}:

• Производная первого слагаемого по y: \frac{\partial}{\partial y}(x^2 e^{y+1}) = x^2 e^{y+1} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y+1) = x^2 e^{y+1}.

• Производная второго слагаемого по y: \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{x}{y^2}\right) = -x \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y^2}\right) = -x \cdot \left(-\frac{2}{y^3}\right) = \frac{2x}{y^3}.

Итак: \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 e^{y+1} + \frac{2x}{y^3}.

3. Подставляем в формулу полного дифференциала:

dz = \left(2x e^{y+1} - \frac{1}{y^2}\right) dx + \left(x^2 e^{y+1} + \frac{2x}{y^3}\right) dy.

Это и есть полный дифференциал функции.