Найти первую производную y. Найти вторую производную y. Вычислить y(-1)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Дана функция:
y = \frac{1}{2} \arctg \frac{x}{2}

Необходимо:

1. Найти первую производную y'.
2. Найти вторую производную y''.
3. Вычислить y''(-1).

Решение

1. Первая производная y'

Функция записана как:
y = \frac{1}{2} \arctg \frac{x}{2}.

Производная от \arctg u равна:
\frac{d}{dx} \arctg u = \frac{1}{1 + u^2} \cdot u'.

Здесь u = \frac{x}{2}, поэтому u' = \frac{1}{2}.

Применяя формулу производной:
y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \cdot \frac{1}{2}.

Упростим выражение:
y' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{4 + x^2}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4 + x^2} = \frac{1}{4 + x^2}.

Итак,
y' = \frac{1}{4 + x^2}.

2. Вторая производная y''

Для нахождения второй производной продифференцируем y' = \frac{1}{4 + x^2}.

Производная от \frac{1}{f(x)} равна:
\frac{d}{dx} \frac{1}{f(x)} = -\frac{f'(x)}{f(x)^2}.

Здесь f(x) = 4 + x^2, поэтому f'(x) = 2x.

Подставим:
y'' = -\frac{f'(x)}{f(x)^2} = -\frac{2x}{(4 + x^2)^2}.

Итак,
y'' = -\frac{2x}{(4 + x^2)^2}.

3. Вычисление y''(-1)

Подставим x = -1 в выражение для y'':
y'' = -\frac{2(-1)}{(4 + (-1)^2)^2} = -\frac{-2}{(4 + 1)^2} = \frac{2}{25}.

Ответ

1. y' = \frac{1}{4 + x^2},
2. y'' = -\frac{2x}{(4 + x^2)^2},
3. y''(-1) = \frac{2}{25}.