Найти первую производную, вторую производную, а также вычислить значения

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление

Дана функция:
f(x) = \begin{bmatrix} \ln(\tan x) \ \sin^2(2x) \ \ln(\cot x) \end{bmatrix}.
Необходимо найти первую производную f'(x), вторую производную f''(x), а также вычислить значения f'(\pi/4) и f''(\pi/4).

Шаг 1: Найдем первую производную f'(x)

Производные берутся поэлементно для каждого компонента векторной функции.

1. Первая компонента: \ln(\tan x)

Производная логарифма:
\frac{d}{dx}[\ln(\tan x)] = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{d}{dx}[\tan x] = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{\tan x}.

2. Вторая компонента: \sin^2(2x)

Используем правило производной сложной функции:
\frac{d}{dx}[\sin^2(2x)] = 2 \cdot \sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(2x)] = 2 \cdot \sin(2x) \cdot 2\cos(2x) = 4\sin(2x)\cos(2x).
Применяя формулу двойного угла, 2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x), получаем:
\frac{d}{dx}[\sin^2(2x)] = 2\sin(4x).

3. Третья компонента: \ln(\cot x)

Производная логарифма:
\frac{d}{dx}[\ln(\cot x)] = \frac{1}{\cot x} \cdot \frac{d}{dx}[\cot x] = \frac{1}{\cot x} \cdot (-\csc^2 x) = -\frac{\csc^2 x}{\cot x}.

Итак, первая производная:
f'(x) = \begin{bmatrix} \frac{\sec^2 x}{\tan x} \ 2\sin(4x) \ -\frac{\csc^2 x}{\cot x} \end{bmatrix}.

Шаг 2: Найдем вторую производную f''(x)

1. Первая компонента: \frac{\sec^2 x}{\tan x}

Обозначим u = \sec^2 x и v = \tan x, тогда \frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{u}{v}. Используем правило производной частного:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

• u = \sec^2 x, \quad u' = 2\sec^2 x \tan x,
• v = \tan x, \quad v' = \sec^2 x.

Подставляем:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sec^2 x}{\tan x}\right) = \frac{(2\sec^2 x \tan x)(\tan x) - (\sec^2 x)(\sec^2 x)}{\tan^2 x} = \frac{2\sec^2 x \tan^2 x - \sec^4 x}{\tan^2 x}.

Упростим:
\frac{2\sec^2 x \tan^2 x - \sec^4 x}{\tan^2 x} = 2\sec^2 x - \frac{\sec^4 x}{\tan^2 x}.

2. Вторая компонента: 2\sin(4x)

Производная:
\frac{d}{dx}[2\sin(4x)] = 2 \cdot \frac{d}{dx}[\sin(4x)] = 2 \cdot 4\cos(4x) = 8\cos(4x).

3. Третья компонента: -\frac{\csc^2 x}{\cot x}

Обозначим u = -\csc^2 x и v = \cot x, тогда -\frac{\csc^2 x}{\cot x} = \frac{u}{v}. Используем правило производной частного:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

• u = -\csc^2 x, \quad u' = -2\csc^2 x \cot x,
• v = \cot x, \quad v' = -\csc^2 x.

Подставляем:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{\csc^2 x}{\cot x}\right) = \frac{(-2\csc^2 x \cot x)(\cot x) - (-\csc^2 x)(-\csc^2 x)}{\cot^2 x} = \frac{-2\csc^2 x \cot^2 x - \csc^4 x}{\cot^2 x}.

Упростим:
\frac{-2\csc^2 x \cot^2 x - \csc^4 x}{\cot^2 x} = -2\csc^2 x - \frac{\csc^4 x}{\cot^2 x}.

Итак, вторая производная:
f''(x) = \begin{bmatrix} 2\sec^2 x - \frac{\sec^4 x}{\tan^2 x} \ 8\cos(4x) \ -2\csc^2 x - \frac{\csc^4 x}{\cot^2 x} \end{bmatrix}.

Шаг 3: Вычислим f'(\pi/4) и f''(\pi/4)

1. Для f'(\pi/4):

Подставляем x = \pi/4 в первую производную:

• Первая компонента:
  \frac{\sec^2(\pi/4)}{\tan(\pi/4)} = \frac{2}{1} = 2.

• Вторая компонента:
  2\sin(4 \cdot \pi/4) = 2\sin(\pi) = 0.

• Третья компонента:
  -\frac{\csc^2(\pi/4)}{\cot(\pi/4)} = -\frac{2}{1} = -2.

Итак:
f'(\pi/4) = \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ -2 \end{bmatrix}.

2. Для f''(\pi/4):

Подставляем x = \pi/4 во вторую производную:

• Первая компонента:
  2\sec^2(\pi/4) - \frac{\sec^4(\pi/4)}{\tan^2(\pi/4)} = 2 \cdot 2 - \frac{4}{1} = 4 - 4 = 0.

• Вторая компонента:
  8\cos(4 \cdot \pi/4) = 8\cos(\pi) = 8 \cdot (-1) = -8.

• Третья компонента:
  -2\csc^2(\pi/4) - \frac{\csc^4(\pi/4)}{\cot^2(\pi/4)} = -2 \cdot 2 - \frac{4}{1} = -4 - 4 = -8.

Итак:
f''(\pi/4) = \begin{bmatrix} 0 \ -8 \ -8 \end{bmatrix}.

Ответ:

1. f'(x) = \begin{bmatrix} \frac{\sec^2 x}{\tan x} \ 2\sin(4x) \ -\frac{\csc^2 x}{\cot x} \end{bmatrix}.
2. f''(x) = \begin{bmatrix} 2\sec^2 x - \frac{\sec^4 x}{\tan^2 x} \ 8\cos(4x) \ -2\csc^2 x - \frac{\csc^4 x}{\cot^2 x} \end{bmatrix}.
3. f'(\pi/4) = \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ -2 \end{bmatrix}.
4. f''(\pi/4) = \begin{bmatrix} 0 \ -8 \ -8 \end{bmatrix}.