Найти первую производную и вторую производную, а также вычислить их значения в точке

Условие:

Найдите f′(x) и f′′(x)

Условие: Найдите f′(x) и f′′(x)

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (производные)

Дано:

Функция f(x) представлена в виде вектора:

f(x) = \begin{bmatrix} \ln(\tan x) \ \sin^2(2x) \ \ln(\cot x) \end{bmatrix}.

Требуется найти первую производную f'(x) и вторую производную f''(x), а также вычислить их значения в точке x = \frac{\pi}{4}.


1. Первая производная f'(x)

Производная векторной функции берётся поэлементно.

Первый элемент: \ln(\tan x)

Производная: \frac{d}{dx}[\ln(\tan x)] = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{d}{dx}[\tan x] = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{\tan x}.

Второй элемент: \sin^2(2x)

Производная: \frac{d}{dx}[\sin^2(2x)] = 2 \cdot \sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(2x)] = 2 \cdot \sin(2x) \cdot \cos(2x) = \sin(4x).

Третий элемент: \ln(\cot x)

Производная: \frac{d}{dx}[\ln(\cot x)] = \frac{1}{\cot x} \cdot \frac{d}{dx}[\cot x] = \frac{1}{\cot x} \cdot (-\csc^2 x) = -\frac{\csc^2 x}{\cot x}.

Итак, первая производная: f'(x) = \begin{bmatrix} \frac{\sec^2 x}{\tan x} \ \sin(4x) \ -\frac{\csc^2 x}{\cot x} \end{bmatrix}.


2. Вторая производная f''(x)

Первый элемент: \frac{\sec^2 x}{\tan x}

Производная: \frac{d}{dx}\left(\frac{\sec^2 x}{\tan x}\right) = \frac{\frac{d}{dx}[\sec^2 x] \cdot \tan x - \sec^2 x \cdot \frac{d}{dx}[\tan x]}{\tan^2 x}.

Здесь: \frac{d}{dx}[\sec^2 x] = 2 \sec^2 x \cdot \tan x,
\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x.

Подставим: \frac{\frac{d}{dx}[\sec^2 x] \cdot \tan x - \sec^2 x \cdot \frac{d}{dx}[\tan x]}{\tan^2 x} = \frac{(2 \sec^2 x \cdot \tan x) \cdot \tan x - \sec^2 x \cdot \sec^2 x}{\tan^2 x} = \frac{2 \sec^2 x \tan^2 x - \sec^4 x}{\tan^2 x} = 2 \sec^2 x - \sec^4 x / \tan^2 x.

Второй элемент: \sin(4x)

Производная: \frac{d}{dx}[\sin(4x)] = 4 \cdot \cos(4x).

Третий элемент: -\frac{\csc^2 x}{\cot x}

Производная: \frac{d}{dx}\left(-\frac{\csc^2 x}{\cot x}\right) = -\frac{\frac{d}{dx}[\csc^2 x] \cdot \cot x - \csc^2 x \cdot \frac{d}{dx}[\cot x]}{\cot^2 x}.

Здесь: \frac{d}{dx}[\csc^2 x] = -2 \csc^2 x \cdot \cot x,
\frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x.

Подставим: -\frac{\frac{d}{dx}[\csc^2 x] \cdot \cot x - \csc^2 x \cdot \frac{d}{dx}[\cot x]}{\cot^2 x} = -\frac{(-2 \csc^2 x \cdot \cot x) \cdot \cot x - \csc^2 x \cdot (-\csc^2 x)}{\cot^2 x} = -\frac{-2 \csc^2 x \cot^2 x + \csc^4 x}{\cot^2 x} = 2 \csc^2 x - \csc^4 x / \cot^2 x.

Итак, вторая производная: f''(x) = \begin{bmatrix} 2 \sec^2 x - \sec^4 x / \tan^2 x \ 4 \cos(4x) \ 2 \csc^2 x - \csc^4 x / \cot^2 x \end{bmatrix}.


3. Значения в точке x = \frac{\pi}{4}

Первая производная:

  1. \frac{\sec^2(\pi/4)}{\tan(\pi/4)} = \frac{2}{1} = 2.
  2. \sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\pi) = 0.
  3. -\frac{\csc^2(\pi/4)}{\cot(\pi/4)} = -\frac{2}{1} = -2.

Итак: f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ -2 \end{bmatrix}.

Вторая производная:

  1. 2 \sec^2(\pi/4) - \frac{\sec^4(\pi/4)}{\tan^2(\pi/4)} = 2 \cdot 2 - \frac{2^2}{1^2} = 4 - 4 = 0.
  2. 4 \cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = 4 \cos(\pi) = 4 \cdot (-1) = -4.
  3. 2 \csc^2(\pi/4) - \frac{\csc^4(\pi/4)}{\cot^2(\pi/4)} = 2 \cdot 2 - \frac{2^2}{1^2} = 4 - 4 = 0.

Итак: f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = \begin{bmatrix} 0 \ -4 \ 0 \end{bmatrix}.


Ответ:

  1. f'(x) = \begin{bmatrix} \frac{\sec^2 x}{\tan x} \ \sin(4x) \ -\frac{\csc^2 x}{\cot x} \end{bmatrix}, \quad f'(x = \frac{\pi}{4}) = \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ -2 \end{bmatrix}.
  2. f''(x) = \begin{bmatrix} 2 \sec^2 x - \frac{\sec^4 x}{\tan^2 x} \ 4 \cos(4x) \ 2 \csc^2 x - \frac{\csc^4 x}{\cot^2 x} \end{bmatrix}, \quad f''(x = \frac{\pi}{4}) = \begin{bmatrix} 0 \ -4 \ 0 \end{bmatrix}.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн