Найти первую производную

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (производные параметрически заданных функций)

Рассмотрим задачу 11.19, где функция задана параметрически:

 \begin{cases} x = e^t \cos t, \ y = e^t \sin t. \end{cases} 

Найдём первую производную  \frac{dy}{dx} 

Для этого сначала найдём  \frac{dx}{dt}  и  \frac{dy}{dt} :

 \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (e^t \cos t) = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t). 

 \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (e^t \sin t) = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t). 

Теперь вычислим  \frac{dy}{dx} :

 \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{e^t (\sin t + \cos t)}{e^t (\cos t - \sin t)} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}. 

Найдём вторую производную  \frac{d^2y}{dx^2} 

Для этого сначала найдём  \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right) :

 \frac{d}{dt} \left( \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} \right). 

Используем правило производной дроби:

 \frac{d}{dt} \left( \frac{U}{V} \right) = \frac{U' V - U V'}{V^2}, 

где
 U = \sin t + \cos t ,
 V = \cos t - \sin t .

Находим их производные:

 U' = \cos t - \sin t, \quad V' = -\sin t - \cos t. 

Подставляем в формулу:

 \frac{d}{dt} \left( \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} \right) = \frac{(\cos t - \sin t)(\cos t - \sin t) - (\sin t + \cos t)(-\sin t - \cos t)}{(\cos t - \sin t)^2}. 

Упрощаем числитель:

 (\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2. 

Используем формулы квадрата суммы:

 \cos^2 t - 2\cos t \sin t + \sin^2 t + \sin^2 t + 2\cos t \sin t + \cos^2 t = 2(\cos^2 t + \sin^2 t) = 2. 

Таким образом,

 \frac{d}{dt} \left( \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} \right) = \frac{2}{(\cos t - \sin t)^2}. 

Теперь найдём вторую производную:

 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{2}{(\cos t - \sin t)^2}}{e^t (\cos t - \sin t)} = \frac{2}{e^t (\cos t - \sin t)^3}. 

Ответ:

 \frac{dy}{dx} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t},   \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{e^t (\cos t - \sin t)^3}.