Найти первую и вторую производные функции, а затем вычислить значение второй производной

Предмет: Математика. Раздел: Дифференциальное исчисление.

Дана функция:

y = \frac{1}{2} \arctg{\frac{x}{2}}.

Необходимо найти первую и вторую производные функции, а затем вычислить значение второй производной при x = -1.

Шаг 1. Первая производная

Используем правило дифференцирования арктангенса:
\frac{d}{dx} \arctg{u} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot u',
где u = \frac{x}{2}, а u' = \frac{1}{2}.

Таким образом, производная y:

 y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{4}}. 

Приведем знаменатель к общему виду:

 y' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{4 + x^2}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4 + x^2} = \frac{1}{4 + x^2}. 

Шаг 2. Вторая производная

Для второй производной воспользуемся правилом производной частного. Пусть:

y' = \frac{1}{4 + x^2}.

Его производная:

 y'' = -\frac{(4 + x^2)'}{(4 + x^2)^2}. 

В числителе производная (4 + x^2) равна 2x. Тогда:

 y'' = -\frac{2x}{(4 + x^2)^2}. 

Шаг 3. Вычисление y''(-1)

Подставляем x = -1 в выражение для второй производной:

 y''(-1) = -\frac{2 \cdot (-1)}{(4 + (-1)^2)^2} = -\frac{-2}{(4 + 1)^2} = \frac{2}{25}. 

Ответ:

1. Первая производная: y' = \frac{1}{4 + x^2}.
2. Вторая производная: y'' = -\frac{2x}{(4 + x^2)^2}.
3. Значение второй производной при x = -1: y''(-1) = \frac{2}{25}.