Найти первую и вторую производные функции, а затем вычислить значение второй производной

Предмет: Математика. Раздел: Дифференциальное исчисление.

Дана функция:

$y=\frac{1}{2}\text{arctg}\frac{x}{2}$.

Необходимо найти первую и вторую производные функции, а затем вычислить значение второй производной при $x=-1$.

Шаг 1. Первая производная

Используем правило дифференцирования арктангенса:
$\frac{d}{dx}\text{arctg}u=\frac{1}{1+u^2}\cdot u^{\prime }$,
где $u=\frac{x}{2}$, а $u^{\prime }=\frac{1}{2}$.

Таким образом, производная $y$:

$y^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}.$

Приведем знаменатель к общему виду:

$y^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\frac{4+x^2}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{4+x^2}=\frac{1}{4+x^2}.$

Шаг 2. Вторая производная

Для второй производной воспользуемся правилом производной частного. Пусть:

$y^{\prime }=\frac{1}{4+x^2}.$

Его производная:

$y^{″}=-\frac{(4+x^2{)}^{\prime }}{(4+x^2{)}^2}.$

В числителе производная $(4+x^2)$ равна $2x$. Тогда:

$y^{″}=-\frac{2x}{(4+x^2{)}^2}.$

Шаг 3. Вычисление $y^{″}(-1)$

Подставляем $x=-1$ в выражение для второй производной:

$y^{″}(-1)=-\frac{2\cdot (-1)}{(4+(-1{)}^2{)}^2}=-\frac{-2}{(4+1{)}^2}=\frac{2}{25}.$

Ответ:

1. Первая производная: $y^{\prime }=\frac{1}{4+x^2}$.
2. Вторая производная: $y^{″}=-\frac{2x}{(4+x^2{)}^2}$.
3. Значение второй производной при $x=-1$: $y^{″}(-1)=\frac{2}{25}$.