Найти наклонные асимптоты и вертикальные асимптоты и экстремумы

Условие:

x*e^(2/x) найти наклонные асимптоты и вертикальные асимптоты и экстремумы

Решение:

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление и исследование функций

Дана функция:
f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}}.

Необходимо:

  1. Найти наклонные асимптоты.
  2. Найти вертикальные асимптоты.
  3. Найти экстремумы функции.

Шаг 1: Исследование на вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты возникают, если функция стремится к бесконечности при x \to a, где a — точка, в которой функция не определена.

Функция f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}} определена для всех x \neq 0. Следовательно, единственная потенциальная точка, где может быть вертикальная асимптота, — это x = 0.

Исследуем поведение функции при x \to 0^+ и x \to 0^−:

  1. При x \to 0^+:
    f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}} \to 0 \cdot \infty = 0 (так как x стремится к нулю быстрее, чем e^{\frac{2}{x}} растет).

  2. При x \to 0^−:
    Аналогично, f(x) \to 0.

Таким образом, вертикальных асимптот нет.


Шаг 2: Исследование на наклонные асимптоты

Наклонные асимптоты имеют вид:
y = kx + b,
где k = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} и b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - kx).

2.1. Исследуем поведение функции при x \to +\infty:

\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \cdot e^{\frac{2}{x}}}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^{\frac{2}{x}} = e^0 = 1.

Следовательно, k = 1.

Теперь найдем b:
b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} (x \cdot e^{\frac{2}{x}} - x) = \lim_{x \to +\infty} x \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1).

Поскольку e^{\frac{2}{x}} \approx 1 + \frac{2}{x} при x \to +\infty, то:
x \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1) \approx x \cdot \frac{2}{x} = 2.

Таким образом, b = 2.

Наклонная асимптота при x \to +\infty:
y = x + 2.

2.2. Исследуем поведение функции при x \to -\infty:

Аналогично:
\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} e^{\frac{2}{x}} = e^0 = 1,
то есть k = 1.

b = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to -\infty} (x \cdot e^{\frac{2}{x}} - x) = \lim_{x \to -\infty} x \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1).

Как и ранее, e^{\frac{2}{x}} \approx 1 + \frac{2}{x}, поэтому:
x \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1) \approx x \cdot \frac{2}{x} = 2.

Таким образом, b = 2.

Наклонная асимптота при x \to -\infty:
y = x + 2.


Шаг 3: Нахождение экстремумов

Для нахождения экстремумов найдем производную функции:
f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}}.

Применим правило произведения:
f'(x) = \frac{d}{dx}[x] \cdot e^{\frac{2}{x}} + x \cdot \frac{d}{dx}\left[e^{\frac{2}{x}}\right].

Первая часть:
\frac{d}{dx}[x] \cdot e^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2}{x}}.

Вторая часть:
x \cdot \frac{d}{dx}\left[e^{\frac{2}{x}}\right] = x \cdot e^{\frac{2}{x}} \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{2}{x}\right] = x \cdot e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2}{x} \cdot e^{\frac{2}{x}}.

Итак, производная:
f'(x) = e^{\frac{2}{x}} - \frac{2}{x} \cdot e^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right).

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right) = 0.

Поскольку экспонента e^{\frac{2}{x}} \neq 0, то:
1 - \frac{2}{x} = 0.

Решаем уравнение:
\frac{2}{x} = 1 \implies x = 2.

Критическая точка: x = 2.

Для определения характера экстремума (минимум или максимум) исследуем знак производной:

  • При x > 2: 1 - \frac{2}{x} > 0, значит, f'(x) > 0 (функция возрастает).
  • При x < 2: 1 - \frac{2}{x} < 0, значит, f'(x) < 0 (функция убывает).

Следовательно, в точке x = 2 функция имеет минимум.

Значение функции в точке x = 2:
f(2) = 2 \cdot e^{\frac{2}{2}} = 2 \cdot e^1 = 2e.


Ответ:

  1. Вертикальных асимптот нет.
  2. Наклонные асимптоты: y = x + 2 для x \to \pm \infty.
  3. Экстремум: минимум в точке x = 2, значение функции: f(2) = 2e.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн