Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
x*e^(2/x) найти наклонные асимптоты и вертикальные асимптоты и экстремумы
Дана функция:
f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}}.
Необходимо:
Вертикальные асимптоты возникают, если функция стремится к бесконечности при x \to a, где a — точка, в которой функция не определена.
Функция f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}} определена для всех x \neq 0. Следовательно, единственная потенциальная точка, где может быть вертикальная асимптота, — это x = 0.
Исследуем поведение функции при x \to 0^+ и x \to 0^−:
При x \to 0^+:
f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}} \to 0 \cdot \infty = 0 (так как x стремится к нулю быстрее, чем e^{\frac{2}{x}} растет).
При x \to 0^−:
Аналогично, f(x) \to 0.
Таким образом, вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты имеют вид:
y = kx + b,
где k = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} и b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - kx).
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \cdot e^{\frac{2}{x}}}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^{\frac{2}{x}} = e^0 = 1.
Следовательно, k = 1.
Теперь найдем b:
b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} (x \cdot e^{\frac{2}{x}} - x) = \lim_{x \to +\infty} x \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1).
Поскольку e^{\frac{2}{x}} \approx 1 + \frac{2}{x} при x \to +\infty, то:
x \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1) \approx x \cdot \frac{2}{x} = 2.
Таким образом, b = 2.
Наклонная асимптота при x \to +\infty:
y = x + 2.
Аналогично:
\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} e^{\frac{2}{x}} = e^0 = 1,
то есть k = 1.
b = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to -\infty} (x \cdot e^{\frac{2}{x}} - x) = \lim_{x \to -\infty} x \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1).
Как и ранее, e^{\frac{2}{x}} \approx 1 + \frac{2}{x}, поэтому:
x \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1) \approx x \cdot \frac{2}{x} = 2.
Таким образом, b = 2.
Наклонная асимптота при x \to -\infty:
y = x + 2.
Для нахождения экстремумов найдем производную функции:
f(x) = x \cdot e^{\frac{2}{x}}.
Применим правило произведения:
f'(x) = \frac{d}{dx}[x] \cdot e^{\frac{2}{x}} + x \cdot \frac{d}{dx}\left[e^{\frac{2}{x}}\right].
Первая часть:
\frac{d}{dx}[x] \cdot e^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2}{x}}.
Вторая часть:
x \cdot \frac{d}{dx}\left[e^{\frac{2}{x}}\right] = x \cdot e^{\frac{2}{x}} \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{2}{x}\right] = x \cdot e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2}{x} \cdot e^{\frac{2}{x}}.
Итак, производная:
f'(x) = e^{\frac{2}{x}} - \frac{2}{x} \cdot e^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right).
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
e^{\frac{2}{x}} \cdot \left(1 - \frac{2}{x}\right) = 0.
Поскольку экспонента e^{\frac{2}{x}} \neq 0, то:
1 - \frac{2}{x} = 0.
Решаем уравнение:
\frac{2}{x} = 1 \implies x = 2.
Критическая точка: x = 2.
Для определения характера экстремума (минимум или максимум) исследуем знак производной:
Следовательно, в точке x = 2 функция имеет минимум.
Значение функции в точке x = 2:
f(2) = 2 \cdot e^{\frac{2}{2}} = 2 \cdot e^1 = 2e.