Найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление (исследование функций)

Задание: Найти наименьшее и наибольшее значения функции ( y = f(x) ) на заданном отрезке ([a; b]). Рассмотрим пункт 4.10: ( y = xe^x, \; x \in [-2; 0] ).

Шаг 1: Найти производную функции ( y )

Функция ( y = xe^x ). Для нахождения экстремумов найдем первую производную:  y' = \frac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x. 

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся из уравнения ( y' = 0 ):  e^x + xe^x = 0.  Вынесем ( e^x ) за скобки:  e^x(1 + x) = 0.  Так как ( e^x \neq 0 ) для любого ( x ), то остается:  1 + x = 0 \implies x = -1. 

Таким образом, критическая точка: ( x = -1 ).

Шаг 3: Исследовать функцию на отрезке ([-2; 0])

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции проверим:

1. Значения функции в концах отрезка ( x = -2 ) и ( x = 0 ).
2. Значение функции в критической точке ( x = -1 ).

Шаг 4: Вычислить значения функции

1. В точке ( x = -2 ):  y(-2) = (-2)e^{-2} = -\frac{2}{e^2}. 

2. В точке ( x = 0 ):  y(0) = 0 \cdot e^0 = 0. 

3. В критической точке ( x = -1 ):  y(-1) = (-1)e^{-1} = -\frac{1}{e}. 

Шаг 5: Сравнить значения

1. ( y(-2) = -\frac{2}{e^2} \approx -0.271 ),
2. ( y(0) = 0 ),
3. ( y(-1) = -\frac{1}{e} \approx -0.368 ).

Наименьшее значение: ( y(-1) = -\frac{1}{e} ).
Наибольшее значение: ( y(0) = 0 ).

Ответ:

Наименьшее значение: ( y = -\frac{1}{e} ) при ( x = -1 ).
Наибольшее значение: ( y = 0 ) при ( x = 0 ).