Найти и изобразить на плоскости хОу область определения данной функции

Определение предмета и раздела

Предмет: Математический анализ
Раздел: Область определения функции нескольких переменных

Решение

Рассмотрим функцию:
 z = \sqrt{x + y - 1} + \ln |x - y| 

1. Определение области функции

Область определения функции — это множество всех значений (x, y), при которых выражение внутри функции определено.

• Первая часть функции: \sqrt{x + y - 1}
  Корень квадратный определён только при неотрицательном подкоренном выражении:
   x + y - 1 \geq 0 
  или
   x + y \geq 1 

• Вторая часть функции: \ln |x - y|
  Натуральный логарифм определён только при положительном аргументе:
   |x - y| > 0 
  или
   x \neq y 

2. Итоговая область определения

Объединяя оба условия, получаем:
 x + y \geq 1, \quad x \neq y 

3. Графическое изображение

На плоскости  xOy  область определения ограничена прямой  x + y = 1 , включая её (полуплоскость выше этой прямой). Однако на этой области исключена прямая  x = y  (пунктирная линия), так как логарифм не определён в нуле.

Графически область представляет собой полуплоскость выше прямой  x + y = 1 , но без точки на линии  x = y .

Вывод

Область определения функции — это множество всех точек  (x, y) , удовлетворяющих условиям  x + y \geq 1, \quad x \neq y .