Найти экстремумы и промежутки монотонности функций

Это задача по математике, раздел "Дифференциальное исчисление" и "Анализ функций".

1. Найдем производную функции.

Функция: y = 2x^2 + 5x - 3.

Производная: y' = (2x^2)' + (5x)' - (3)' = 4x + 5.

2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся из условия y' = 0.

4x + 5 = 0, 4x = -5, x = -5/4.

3. Определим промежутки возрастания и убывания.

Промежутки зависят от знака производной:

• Если y' > 0, функция возрастает.
• Если y' < 0, функция убывает.

Рассмотрим интервалы на числовой оси, используя критическую точку x = -5/4.

Для x < -5/4 (например, подставим x = -2 в y'):

y' = 4(-2) + 5 = -3 (меньше нуля). Функция убывает.

Для x > -5/4 (например, подставим x = 0 в y'):

y' = 4(0) + 5 = 5 (больше нуля). Функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на промежутке (-∞, -5/4) и возрастает на промежутке (-5/4, ∞).

4. Найдем экстремумы функции.

Так как функция меняет направление с убывания на возрастание в точке x = -5/4, то это точка минимума.

Подставим x = -5/4 в начальную функцию, чтобы найти значение y:

y = 2(-5/4)^2 + 5(-5/4) - 3

y = 2(25/16) - 25/4 - 3

y = 50/16 - 100/16 - 48/16

y = -98/16

y = -49/8

Таким образом, точка минимума: (-5/4, -49/8).

5. Построим график функции.

График функции - парабола, так как это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом (2). Она открыта вверх, минимум находится в точке (-5/4, -49/8).

Вот шаги для построения графика:

• Определите ось симметрии, она проходит через x = -5/4.
• Отметьте вершину параболы: (-5/4, -49/8).
• Найдите несколько точек по обе стороны от вершины для большей точности.
• Нарисуйте параболу, проверяя основное направление открытости, которое направлено вверх.

На этом завершено решение задачи.