Найти частные производные функции заданной неявным уравнением

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление, частные производные

Задача: Найти частные производные функции ( z = z(x, y) ), заданной неявным уравнением:

x^2 + y^2 + z^2 - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2 = 0.

Решение

1. Формула для частных производных

Функция ( z ) задана неявно, поэтому для вычисления частных производных ( \frac{\partial z}{\partial x} ) и ( \frac{\partial z}{\partial y} ) используем метод дифференцирования неявной функции. Дифференцируем равенство по ( x ) и ( y ), считая ( z ) функцией от ( x ) и ( y ).

Общее уравнение для частных производных:  F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2 = 0. 

Дифференцирование по ( x ):

 \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0. 

Дифференцирование по ( y ):

 \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0. 

Частные производные ( \frac{\partial F}{\partial x} ), ( \frac{\partial F}{\partial y} ), ( \frac{\partial F}{\partial z} ):

1. ( \frac{\partial F}{\partial x} = 2x - z - 1 ),
2. ( \frac{\partial F}{\partial y} = 2y - z - 1 ),
3. ( \frac{\partial F}{\partial z} = 2z - x - y + 2 ).

Подставляем эти выражения в формулы для частных производных ( z ).

Формулы для ( \frac{\partial z}{\partial x} ) и ( \frac{\partial z}{\partial y} ):

1. Для ( \frac{\partial z}{\partial x} ):  \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}} = -\frac{2x - z - 1}{2z - x - y + 2}. 

2. Для ( \frac{\partial z}{\partial y} ):  \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}} = -\frac{2y - z - 1}{2z - x - y + 2}. 

Подстановка значений

а) Вычисляем ( \frac{\partial z}{\partial x}(1, -1, -2) ):

Подставляем ( x = 1 ), ( y = -1 ), ( z = -2 ) в формулу:

1. ( \frac{\partial F}{\partial x} = 2(1) - (-2) - 1 = 2 + 2 - 1 = 3 ),
2. ( \frac{\partial F}{\partial z} = 2(-2) - 1 - (-1) + 2 = -4 - 1 + 1 + 2 = -2 ).

Теперь:  \frac{\partial z}{\partial x}(1, -1, -2) = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}. 

б) Вычисляем ( \frac{\partial z}{\partial y}(1, -1, 0) ):

Подставляем ( x = 1 ), ( y = -1 ), ( z = 0 ) в формулу:

1. ( \frac{\partial F}{\partial y} = 2(-1) - 0 - 1 = -2 - 1 = -3 ),
2. ( \frac{\partial F}{\partial z} = 2(0) - 1 - (-1) + 2 = 0 - 1 + 1 + 2 = 2 ).

Теперь:  \frac{\partial z}{\partial y}(1, -1, 0) = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}. 

Ответ:

а) \frac{\partial z}{\partial x}(1, -1, -2) = \frac{3}{2},
б) \frac{\partial z}{\partial y}(1, -1, 0) = \frac{3}{2}.