Найти частные производные функции и вычислить значение в точке

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дана функция:
f(x, y) = \frac{\ln(x + \ln y)}{(2x - 1)^y}.

Необходимо найти частные производные функции f'(x, y) и вычислить значение в точке (1, 1).

1. Найдем частные производные функции

Частная производная по x:

Функция f(x, y) записана как отношение двух функций:
u(x, y) = \ln(x + \ln y) и v(x, y) = (2x - 1)^y.

Применяем правило производной частного:
 f_x(x, y) = \frac{\frac{\partial u}{\partial x} \cdot v - u \cdot \frac{\partial v}{\partial x}}{v^2}. 

1. Найдем \frac{\partial u}{\partial x}:
   u(x, y) = \ln(x + \ln y).
   Производная по x:
   \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x + \ln y}.

2. Найдем \frac{\partial v}{\partial x}:
   v(x, y) = (2x - 1)^y.
   Производная по x с использованием правила цепочки:
   \frac{\partial v}{\partial x} = y \cdot (2x - 1)^{y - 1} \cdot 2.

Подставляем в формулу для f_x(x, y):
 f_x(x, y) = \frac{\frac{1}{x + \ln y} \cdot (2x - 1)^y - \ln(x + \ln y) \cdot y \cdot (2x - 1)^{y - 1} \cdot 2}{\big((2x - 1)^y\big)^2}. 

Частная производная по y:

Применяем то же правило производной частного:
 f_y(x, y) = \frac{\frac{\partial u}{\partial y} \cdot v - u \cdot \frac{\partial v}{\partial y}}{v^2}. 

1. Найдем \frac{\partial u}{\partial y}:
   u(x, y) = \ln(x + \ln y).
   Производная по y:
   \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x + \ln y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y(x + \ln y)}.

2. Найдем \frac{\partial v}{\partial y}:
   v(x, y) = (2x - 1)^y.
   Производная по y:
   \frac{\partial v}{\partial y} = (2x - 1)^y \cdot \ln(2x - 1).

Подставляем в формулу для f_y(x, y):
 f_y(x, y) = \frac{\frac{1}{y(x + \ln y)} \cdot (2x - 1)^y - \ln(x + \ln y) \cdot (2x - 1)^y \cdot \ln(2x - 1)}{\big((2x - 1)^y\big)^2}. 

2. Вычислим f'(1, 1)

Подставляем x = 1 и y = 1 в частные производные.

Найдем f_x(1, 1):

1. u(1, 1) = \ln(1 + \ln 1) = \ln(1 + 0) = \ln 1 = 0.
   \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1 + \ln 1} = \frac{1}{1} = 1.
2. v(1, 1) = (2 \cdot 1 - 1)^1 = 1.
   \frac{\partial v}{\partial x} = 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1)^{1 - 1} \cdot 2 = 2.

Подставляем:
 f_x(1, 1) = \frac{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2}{1^2} = 1. 

Найдем f_y(1, 1):

1. \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1 \cdot (1 + \ln 1)} = \frac{1}{1} = 1.
2. \frac{\partial v}{\partial y} = (2 \cdot 1 - 1)^1 \cdot \ln(2 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot \ln 1 = 0.

Подставляем:
 f_y(1, 1) = \frac{1 \cdot 1 - 0 \cdot 0}{1^2} = 1. 

Ответ:

f'(1, 1) = (f_x(1, 1), f_y(1, 1)) = (1, 1).