Найти частные производные функции

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Нам дана функция:

f(x, y) = \frac{\ln(x + \ln y)}{(2x - 1)^y}.

Необходимо:

1. Найти частные производные функции f'(x, y).
2. Вычислить значение f'(1, 1).

1. Найдём частные производные функции

Частная производная по x:

Функция имеет вид дроби, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования частного:

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{u'(x, y) v(x, y) - u(x, y) v'(x, y)}{[v(x, y)]^2},

где:
u(x, y) = \ln(x + \ln y), \quad v(x, y) = (2x - 1)^y.

1.1. Найдём u'(x, y):
u(x, y) = \ln(x + \ln y) \implies u'(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \ln(x + \ln y) = \frac{1}{x + \ln y}.

1.2. Найдём v(x, y):
v(x, y) = (2x - 1)^y.

1.3. Найдём v'(x, y):
v(x, y) = (2x - 1)^y \implies v'(x, y) = y \cdot (2x - 1)^{y-1} \cdot 2.

Теперь подставляем всё в формулу для \frac{\partial f}{\partial x}:

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\frac{1}{x + \ln y} \cdot (2x - 1)^y - \ln(x + \ln y) \cdot y \cdot (2x - 1)^{y-1} \cdot 2}{[(2x - 1)^y]^2}.

Упростим:

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(2x - 1)^{y-1} \left[ \frac{(2x - 1)}{x + \ln y} - 2y \ln(x + \ln y) \right]}{(2x - 1)^{2y}}.

Или:

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\frac{(2x - 1)}{x + \ln y} - 2y \ln(x + \ln y)}{(2x - 1)^{y+1}}.

Частная производная по y:

Теперь найдём \frac{\partial f}{\partial y}.

f(x, y) = \frac{\ln(x + \ln y)}{(2x - 1)^y}.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{u'(x, y) v(x, y) - u(x, y) v'(x, y)}{[v(x, y)]^2},

где:
u(x, y) = \ln(x + \ln y), \quad v(x, y) = (2x - 1)^y.

1.1. Найдём u'(x, y):
u(x, y) = \ln(x + \ln y) \implies u'(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \ln(x + \ln y) = \frac{\frac{\partial}{\partial y} (x + \ln y)}{x + \ln y} = \frac{\frac{1}{y}}{x + \ln y} = \frac{1}{y(x + \ln y)}.

1.2. Найдём v'(x, y):
v(x, y) = (2x - 1)^y \implies v'(x, y) = (2x - 1)^y \ln(2x - 1).

Теперь подставляем всё в формулу для \frac{\partial f}{\partial y}:

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\frac{1}{y(x + \ln y)} \cdot (2x - 1)^y - \ln(x + \ln y) \cdot (2x - 1)^y \ln(2x - 1)}{[(2x - 1)^y]^2}.

Упростим:

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\frac{1}{y(x + \ln y)} - \ln(x + \ln y) \ln(2x - 1)}{(2x - 1)^y}.

2. Вычислим f'(1, 1)

Подставим x = 1 и y = 1 в найденные выражения для частных производных.

Частная производная по x:

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\frac{(2x - 1)}{x + \ln y} - 2y \ln(x + \ln y)}{(2x - 1)^{y+1}}.

Подставляем:

x = 1, \, y = 1 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\frac{(2 \cdot 1 - 1)}{1 + \ln 1} - 2 \cdot 1 \cdot \ln(1 + \ln 1)}{(2 \cdot 1 - 1)^{1+1}} = \frac{\frac{1}{1} - 0}{1^2} = 1.

Частная производная по y:

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\frac{1}{y(x + \ln y)} - \ln(x + \ln y) \ln(2x - 1)}{(2x - 1)^y}.

Подставляем:

x = 1, \, y = 1 \implies \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\frac{1}{1(1 + \ln 1)} - \ln(1 + \ln 1) \ln(2 \cdot 1 - 1)}{(2 \cdot 1 - 1)^1} = \frac{\frac{1}{1} - 0}{1} = 1.

Ответ:

\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = 1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = 1.