Найти частные производные, а затем вычислить значение

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дана функция:
f(x, y) = \frac{\ln(x + \ln y)}{(2x - 1)y}.

Нужно найти её частные производные f'_x(x, y) и f'_y(x, y), а затем вычислить значение f'(1, 1).

1. Найдём частную производную по x:

Запишем функцию:

f(x, y) = \frac{\ln(x + \ln y)}{(2x - 1)y}.

Применим правило дифференцирования частного:
\left(\frac{u}{v}\right)'_x = \frac{u'_x v - u v'_x}{v^2},
где:
u = \ln(x + \ln y), \, v = (2x - 1)y.

Найдём производные:

1. u'_x = \frac{\partial}{\partial x} \ln(x + \ln y) = \frac{1}{x + \ln y}.
2. v'_x = \frac{\partial}{\partial x} \big((2x - 1)y\big) = 2y.

Подставляем всё в формулу:
f'_x(x, y) = \frac{\frac{1}{x + \ln y} \cdot (2x - 1)y - \ln(x + \ln y) \cdot 2y}{\big((2x - 1)y\big)^2}.

2. Найдём частную производную по y:

Применим правило дифференцирования частного:
\left(\frac{u}{v}\right)'_y = \frac{u'_y v - u v'_y}{v^2},
где:
u = \ln(x + \ln y), \, v = (2x - 1)y.

Найдём производные:

1. u'_y = \frac{\partial}{\partial y} \ln(x + \ln y) = \frac{1}{x + \ln y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y(x + \ln y)}.
2. v'_y = \frac{\partial}{\partial y} \big((2x - 1)y\big) = 2x - 1.

Подставляем всё в формулу:
f'_y(x, y) = \frac{\frac{1}{y(x + \ln y)} \cdot (2x - 1)y - \ln(x + \ln y) \cdot (2x - 1)}{\big((2x - 1)y\big)^2}.

3. Вычислим значение f'(1, 1):

Подставляем x = 1 и y = 1 в функцию:

Для f'_x(1, 1):

1. u = \ln(1 + \ln 1) = \ln 1 = 0.
2. v = (2 \cdot 1 - 1) \cdot 1 = 1.

Подставляем:
f'_x(1, 1) = \frac{\frac{1}{1 + \ln 1} \cdot 1 - 0 \cdot 2}{1^2} = \frac{1}{1} = 1.

Для f'_y(1, 1):

1. u = \ln(1 + \ln 1) = \ln 1 = 0.
2. v = (2 \cdot 1 - 1) \cdot 1 = 1.

Подставляем:
f'_y(1, 1) = \frac{\frac{1}{1 \cdot (1 + \ln 1)} \cdot 1 - 0 \cdot 1}{1^2} = 0.

Итак, частные производные равны:
f'_x(1, 1) = 1,
f'_y(1, 1) = 0.

Ответ:
f'(1, 1) = (1, 0).