Найти частные производные

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление, частные производные

Дано:
z = uv \cdot \arctan(u),
где u = st, v = \frac{s}{t}.

Нужно найти частные производные \frac{\partial z}{\partial s} и \frac{\partial z}{\partial t}.

Шаг 1. Запишем выражение для z через s и t:

z = uv \cdot \arctan(u) = \left(st \cdot \frac{s}{t}\right) \cdot \arctan(st) = s^2 \cdot \arctan(st).

Шаг 2. Найдем \frac{\partial z}{\partial s}:

Используем правило произведения и цепное правило:

 \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s} \left( s^2 \cdot \arctan(st) \right) = 2s \cdot \arctan(st) + s^2 \cdot \frac{1}{1+(st)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial s} (st). 

Поскольку t — независимая переменная при дифференцировании по s,

\frac{\partial}{\partial s} (st) = t.

Тогда

 \frac{\partial z}{\partial s} = 2s \arctan(st) + s^2 \cdot \frac{t}{1+(st)^2}. 

Шаг 3. Найдем \frac{\partial z}{\partial t}:

Аналогично:

 \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( s^2 \cdot \arctan(st) \right) = s^2 \cdot \frac{1}{1+(st)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} (st). 

Поскольку s — независимая переменная при дифференцировании по t,

\frac{\partial}{\partial t} (st) = s.

Тогда

 \frac{\partial z}{\partial t} = s^2 \cdot \frac{s}{1+(st)^2} = \frac{s^3}{1+(st)^2}. 

Итог:

 \boxed{ \begin{cases} \frac{\partial z}{\partial s} = 2s \arctan(st) + \frac{s^2 t}{1+(st)^2}, \ \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{s^3}{1+(st)^2}. \end{cases} }