Найдите производную сложной функции

Данное задание относится к предмету "Математика", а более конкретно к разделу "Дифференциальное исчисление", тема - "Производная сложной функции".

Нам нужно найти производную функции y = arctg(e^cos(x)). Это сложная функция, составленная из функции арктангенса, показательной функции и косинуса. Чтобы найти производную сложной функции, мы применяем правило цепочки.

1. Найдем производную внешней функции.

Внешняя функция здесь - это арктангенс. Производная арктангенса u по переменной u равна 1 / (1 + u^2). Пусть u = e^cos(x), тогда:

d/dx [arctg(u)] = 1 / (1 + u^2) * du/dx.

2. Найдем производную u = e^cos(x).

Здесь u является сложной функцией: это экспонента e в степени cos(x). Сначала найдем производную внешней функции e^v, где v = cos(x). По правилу производной экспоненты:

d/dv [e^v] = e^v.

Затем производная внутренней функции v = cos(x):

d/dx [cos(x)] = -sin(x).

Таким образом, производная u = e^cos(x) по x будет:

du/dx = e^cos(x) * (-sin(x)).

3. Подставляем найденные производные в выражение:

d/dx [arctg(e^cos(x))] = 1 / (1 + (e^cos(x))^2) * e^cos(x) * (-sin(x)).

Упрощая конечное выражение, получаем:

Производная равна

Таким образом, производная функции arctg(e^cos(x)) по переменной x равна

-sin(x) * e^cos(x) / (1 + e^(2cos(x))).