Найдите координаты вектора

Определение предмета и раздела:

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Линейные операторы и матричное представление операторов

Решение:

Даны два линейных оператора ( A ) и ( B ), действующие в пространстве ( \mathbb{R}_3 ). Нам нужно вычислить координаты вектора:

 \mathbf{d} = A(B\mathbf{c}) 

где ( \mathbf{c} = {1,1,-2} ).

1. Представим операторы в матричной форме

Оператор ( A ) задан следующим образом:

[ A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -2x_1 + x_2 \

• x_2 \ x_1 - 2x_2 \end{pmatrix} ]

Матрица оператора ( A ):

 A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} 

Оператор ( B ):

[ B\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -2x_3 \

• x_1 + x_2 - x_3 \ x_1 + x_2 \end{pmatrix} ]

Матрица оператора ( B ):

 B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \ -1 & 1 & -1 \ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} 

2. Найдём ( B\mathbf{c} )

Подставляем ( \mathbf{c} = {1,1,-2} ):

 B\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \ -1 & 1 & -1 \ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) \ (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ -1 + 1 + 2 \ 1 + 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} 

3. Найдём ( A(B\mathbf{c}) )

 A \begin{pmatrix} 4 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 \ 0 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 2 \ 1 \cdot 4 + (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 + 2 + 0 \ 0 - 2 + 0 \ 4 - 4 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \ -2 \ 0 \end{pmatrix} 

4. Ответ

Вторая координата вектора ( \mathbf{d} ) равна:

 -2