Нахождения производной функции, где основание и показатель степени зависят от переменной

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Мы ищем производную функции:
y = (\tan(3x))^{\sqrt{x}}.

Для нахождения производной функции такого типа, где основание и показатель степени зависят от переменной, удобно использовать логарифмирование.

Шаг 1: Логарифмируем обе части

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:
\ln(y) = \ln\left((\tan(3x))^{\sqrt{x}}\right).

Используем свойство логарифмов: \ln(a^b) = b \cdot \ln(a). Тогда:
\ln(y) = \sqrt{x} \cdot \ln(\tan(3x)).

Шаг 2: Дифференцируем обе части

Теперь дифференцируем обе стороны уравнения по x. Заметим, что y — это функция от x, поэтому производная левой части будет:
\frac{d}{dx}[\ln(y)] = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}.

Правая часть:
\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x} \cdot \ln(\tan(3x))\right].

Используем правило произведения:
\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u' \cdot v + u \cdot v',
где u = \sqrt{x}, а v = \ln(\tan(3x)).

Производная u = \sqrt{x}:

\frac{d}{dx}[\sqrt{x}] = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Производная v = \ln(\tan(3x)):

\frac{d}{dx}[\ln(\tan(3x))] = \frac{1}{\tan(3x)} \cdot \frac{d}{dx}[\tan(3x)].

Производная \tan(3x):
\frac{d}{dx}[\tan(3x)] = 3 \cdot \sec^2(3x).

Итак:
\frac{d}{dx}[\ln(\tan(3x))] = \frac{1}{\tan(3x)} \cdot 3 \cdot \sec^2(3x).

Собираем правую часть:

\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x} \cdot \ln(\tan(3x))\right] = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \ln(\tan(3x)) + \sqrt{x} \cdot \frac{3 \sec^2(3x)}{\tan(3x)}.

Шаг 3: Производная левой части

Левая часть равна:
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}.

Шаг 4: Выражаем \frac{dy}{dx}

Умножаем обе части на y:
\frac{dy}{dx} = y \cdot \left(\frac{\ln(\tan(3x))}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \frac{3 \sec^2(3x)}{\tan(3x)}\right).

Подставляем y = (\tan(3x))^{\sqrt{x}}:
\frac{dy}{dx} = (\tan(3x))^{\sqrt{x}} \cdot \left(\frac{\ln(\tan(3x))}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \frac{3 \sec^2(3x)}{\tan(3x)}\right).

Ответ:

\frac{dy}{dx} = (\tan(3x))^{\sqrt{x}} \cdot \left(\frac{\ln(\tan(3x))}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \frac{3 \sec^2(3x)}{\tan(3x)}\right).