Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
методом дифференциального исчесления исследовать функцию y=xe^(-x^2) и по результатам исследования построить график
Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Нам дана функция:
y = x e^{-x^2}
Нужно исследовать эту функцию с помощью методов дифференциального исчисления, а именно:
Функция y = x e^{-x^2} определена при всех x \in \mathbb{R}, так как экспонента и полином определены всюду.
Применим правило произведения:
y = x \cdot e^{-x^2}
y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x^2})
Вспомним, что производная \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = e^{-x^2} \cdot (-2x)
Тогда:
y' = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2} = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2}
Вынесем общий множитель:
y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)
Найдем, где y' = 0:
e^{-x^2}(1 - 2x^2) = 0
Поскольку e^{-x^2} \ne 0 при любом x, то:
1 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
Критические точки: x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
Исследуем знак производной y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)
Находим значения функции в критических точках:
y\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-1/2}
Найдем y'':
Начнем с первой производной:
y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)
Применим правило произведения:
y'' = \frac{d}{dx}[e^{-x^2}(1 - 2x^2)] = e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(1 - 2x^2) + (1 - 2x^2) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x^2})
= e^{-x^2} \cdot (-4x) + (1 - 2x^2) \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2}
Вынесем общий множитель e^{-x^2}:
y'' = e^{-x^2} \left[ -4x + (-2x)(1 - 2x^2) \right]
Раскроем скобки:
y'' = e^{-x^2} \left[ -4x - 2x + 4x^3 \right] = e^{-x^2}(-6x + 4x^3)
Или:
y'' = 2x e^{-x^2} (2x^2 - 3)
Рассмотрим знак второй производной:
y'' = 2x e^{-x^2}(2x^2 - 3)
Найдем точки перегиба: при y'' = 0
2x(2x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}
Значит, возможные точки перегиба: x = 0, x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}
Соберем всю информацию:
Функция имеет форму "двугорбого колокола", симметрична относительно начала координат, с максимумом и минимумом по обе стороны от оси Y.
Если хочешь, я могу построить график этой функции с помощью Python (например, matplotlib) или описать, как это сделать вручную.