Методом дифференциального исчесления исследовать функцию y=xe^(-x^2) и по результатам исследования построить график

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Нам дана функция:

y = x e^{-x^2}

Нужно исследовать эту функцию с помощью методов дифференциального исчисления, а именно:

1. Найти область определения
2. Найти производную
3. Найти критические точки
4. Исследовать на возрастание/убывание
5. Найти точки экстремума
6. Найти вторую производную
7. Исследовать на выпуклость и точки перегиба
8. Построить график функции

1. Область определения

Функция y = x e^{-x^2} определена при всех x \in \mathbb{R}, так как экспонента и полином определены всюду.

2. Первая производная

Применим правило произведения:

 y = x \cdot e^{-x^2} 

 y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) 

Вспомним, что производная \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = e^{-x^2} \cdot (-2x)

Тогда:

 y' = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2} = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} 

Вынесем общий множитель:

 y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2) 

3. Критические точки

Найдем, где y' = 0:

 e^{-x^2}(1 - 2x^2) = 0 

Поскольку e^{-x^2} \ne 0 при любом x, то:

 1 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} 

Критические точки: x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

4. Интервалы возрастания и убывания

Исследуем знак производной y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)

• На интервале (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}): 1 - 2x^2 < 0 ⇒ y' < 0 — функция убывает
• На интервале (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}): 1 - 2x^2 > 0 ⇒ y' > 0 — функция возрастает
• На интервале (\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty): 1 - 2x^2 < 0 ⇒ y' < 0 — функция убывает

5. Точки экстремума

Находим значения функции в критических точках:

 y\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-1/2} 

• В точке x = -\frac{1}{\sqrt{2}} — локальный минимум
• В точке x = \frac{1}{\sqrt{2}} — локальный максимум

6. Вторая производная

Найдем y'':

Начнем с первой производной:

 y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2) 

Применим правило произведения:

 y'' = \frac{d}{dx}[e^{-x^2}(1 - 2x^2)] = e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(1 - 2x^2) + (1 - 2x^2) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) 

 = e^{-x^2} \cdot (-4x) + (1 - 2x^2) \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2} 

Вынесем общий множитель e^{-x^2}:

 y'' = e^{-x^2} \left[ -4x + (-2x)(1 - 2x^2) \right] 

Раскроем скобки:

 y'' = e^{-x^2} \left[ -4x - 2x + 4x^3 \right] = e^{-x^2}(-6x + 4x^3) 

Или:

 y'' = 2x e^{-x^2} (2x^2 - 3) 

7. Выпуклость и точки перегиба

Рассмотрим знак второй производной:

 y'' = 2x e^{-x^2}(2x^2 - 3) 

• e^{-x^2} > 0 всегда
• Знак производной зависит от 2x(2x^2 - 3)

Найдем точки перегиба: при y'' = 0

 2x(2x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} 

Значит, возможные точки перегиба: x = 0, x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

8. Построение графика

Соберем всю информацию:

• Область определения: \mathbb{R}
• Четность: функция нечетная (так как y(-x) = -y(x))
• Функция возрастает на (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), убывает вне этого интервала
• Локальный максимум в x = \frac{1}{\sqrt{2}}
• Локальный минимум в x = -\frac{1}{\sqrt{2}}
• Точки перегиба: x = -\sqrt{\frac{3}{2}}, 0, \sqrt{\frac{3}{2}}

График

Функция имеет форму "двугорбого колокола", симметрична относительно начала координат, с максимумом и минимумом по обе стороны от оси Y.

Если хочешь, я могу построить график этой функции с помощью Python (например, matplotlib) или описать, как это сделать вручную.